Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить уравнение

$$n^k=(n-1)^k+(n-2)^k$$

$(n, k\in\mathbb N)$

Для нечётных $k$ тривиально, по модулю 4.
Для чётных $k$ как минимум одно решение есть всегда $n=1$
Вопрос, всегда ли есть более одного решения.
Для $k=2$ есть $n=5$
А для $k>2$?

И вообще, как это решать?

[gris]

А нельзя ли тут использовать ВТФ?
Для $k>3$ решениями могут быть только $n=0,1,2$. Ну и подстановкой убеждаемся.
Или я чего-то не так понял?

+++ Изящное примечание

[Ktina]

Забыла самое главное.
Эта олимпиада проходила задолго до того, как ВТФ была доказана. А именно, в 1909г.

-- 19.12.2012, 23:24 --

gris в сообщении #660883 писал(а):

Для $k>3$ решениями могут быть только $n=0,1,2$. Ну и подстановкой убеждаемся.
Или я чего-то не так понял?

Да нет, это я не поняла. Почему только 0,1,2?

[Shadow]

Ktina в сообщении #660879 писал(а):

Для нечётных $k$ тривиально, по модулю 4.

Ktina в сообщении #660884 писал(а):

Эта олимпиада проходила задолго до того, как ВТФ была доказана. А именно, в 1909г.

Для четных степеней была доказана раньше.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #660879 писал(а):

И вообще, как это решать?

См. http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=418624

[alexo2]

Интересно, а сложно ли доказать, что степень числа может дать сумма последовательных степеней только для 2-ой и 3-ей степени? (Имеется ввиду количество слагаемых 2 и больше, а в результате: 1. не обязательно последовательное 2. обязательно последовательное)...

[Ktina]

nnosipov в сообщении #660958 писал(а):

Ktina в сообщении #660879 писал(а):

И вообще, как это решать?

См. http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=418624

Спасибо!

[Shadow]

А есть ли ошибка здесь? Уравнение $(x-1)^{2k}+x^{2k}=(x+1)^{2k}$
$\\x^k=2uv\\ (x+1)^k=u^2+v^2\\ (x-1)^k=u^2-v^2$
Причем u,v взаимнопростые, т.к. в исходном уравнении слагаемые взаимнопростые. При нечетном k сумируем последние две равенства, левая часть делится на $2x$, откуда $x|u^2$. Значит, из-за взаимной простоты $v=1$. Тогда $(x+1)^k-(x-1)^k=2$, что возможно только при $k=1$
При четном k вычитаем, аналогично получаем $x|v^2 \Rightarrow u=1$. Что невозможно.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #661203 писал(а):

А есть ли ошибка здесь?

Нет, всё в порядке. Ещё одно разумное решение задачи.