В сотый раз про 0,999...=1

[Keter]

$$0{,}111...=\dfrac{1}{9}$$

$$0{,}111... \cdot 9=\dfrac{1}{9} \cdot 9$$

$$0{,}999...=1$$

:D

[arseniiv]

(Заметки про $\TeX$ из-за частоты явления.)

Из-за того, что $\TeX$ разрабатывался вокруг десятичной точки, запятую для десятичности приходится засовывать в скобки: 0{,}9 $0{,}9$. Ср. с 0,9 $0,9$ — тут запятая — разделитель.

[Keter]

(Оффтоп)

arseniiv, учтемс.

[ewert]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

$0,999...$ и $1$ - это две разные записи одного числа, или два разных числа?

$\frac13$ и $\frac26$ -- это две разные записи одного числа, или два разных числа?...

Вопрос в точности тот же.

[Joker_vD]

Ну можно же ввести множество пар $(a,f)$, где $a\in\mathbb Z$, $f\colon \mathbb N \to \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ и профакторизовать его? Можно.

[ewert]

А вопрос с девятками -- разве не тоже на факторизацию? На неё.

[Joker_vD]

А вот что получится, если мы не будем факторизовать? Если у нас $0{,}(9)$ и $1{,}(0)$ будут считаться разными числами? Мы потеряем свойство "между любыми различными вещественными числами найдется вещественное число", еще что-то?

[ewert]

Ну, например, мы потеряем единственность единицы, что для группы по умножению как-то не есть очень хорошо.

[Someone]

Joker_vD в сообщении #661070 писал(а):

А вот что получится, если мы не будем факторизовать? Если у нас $0{,}(9)$ и $1{,}(0)$ будут считаться разными числами?

Думаю, что очень много чего испортится. Тем более, что проблема касается не только единицы, но и вообще всех десятично-рациональных чисел. Скорее всего, будут нарушены многие аксиомы упорядоченного поля, и алгебраические преобразования станут весьма запутанными. Но возиться с этим мне не хочется.