В сотый раз про 0,999...=1

[bigarcus]

1) $0,999...$ и $1$ - это две разные записи одного числа, или два разных числа?
2) Разве это удобно? Нельзя другой записи придумать, однозначной?
3) А как быть с одно-однозначным отображением чисел на прямой?

[ИСН]

[TOTAL]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

3) А как быть с одно-однозначным отображением чисел на прямой?

А до сих пор как были?

[Deggial]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

1) $0,999...$ и $1$ - это две разные записи одного числа

да. Соответственно

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

два разных числа?

нет.

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

2) Разве это удобно? Нельзя другой записи придумать, однозначной?

Это следует из правил записи чисел. В общем случае сделать вряд ли что-то можно. В частных случаях можно использовать базисы и порождающие множества алгебраических структур или нечто аналогичное. Например, есть двоичная система счисления. В $\mathbb{R}$ есть базис Гамеля.

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

3) А как быть с одно-однозначным отображением чисел на прямой?

А в чём проблема? Нормально всё.

[bigarcus]

Deggial в сообщении #660678 писал(а):

Например, есть двоичная система счисления.

А что, существование двойственной записи одного и того же числа - относится только к десятеричной системе исчисления?
В двоичной системе нет двойственности? А, скажем, в пятнадцатеричной?

Deggial в сообщении #660678 писал(а):

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

3) А как быть с одно-однозначным отображением чисел на прямой?

А в чём проблема? Нормально всё.

А вроде Кантор, когда строил взаимно-однозначное отображение точек квадрата и чисел, столкнулся с этой проблемой. Ему из-за двойственности записи пришлось его доказательство чуть переделывать - я так читал.

[Александрович]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

1) $0,999...$ и $1$ - это две разные записи одного числа, или два разных числа?

Одинаковые числа $0,999...$ и $1,000...$.

[bigarcus]

TOTAL в сообщении #660676 писал(а):

А до сих пор как были?

Ну, я думал, что $0,9999...$ и $1$ это две разные точки.

-- Ср дек 19, 2012 17:21:06 --

Александрович в сообщении #660685 писал(а):

Одинаковые числа $0,999...$ и $1,000...$.

Я это выше написал, если вы не видели. А нули зачем писать? Без них проще.

[nnosipov]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

2) Разве это удобно? Нельзя другой записи придумать, однозначной?

Раскладывайте не в десятичную (двоичную и т.п.), а в цепную дробь, и всё будет однозначно.

[ИСН]

В цепных свои заморочки. Скажем, [1,2,1] и [1,3] - какая разница?

[Deggial]

bigarcus в сообщении #660683 писал(а):

А что, существование двойственной записи одного и того же числа - относится только к десятеричной системе исчисления?
В двоичной системе нет двойственности? А, скажем, в пятнадцатеричной?

Я имел ввиду двоичную систему счисления в $\mathbb{N}$. А вообще да - для любого основания системы счисления представление его будет однозначным.

bigarcus в сообщении #660683 писал(а):

А вроде Кантор, когда строил взаимно-однозначное отображение точек квадрата и чисел, столкнулся с этой проблемой. Ему из-за двойственности записи пришлось его доказательство чуть переделывать - я так читал.

Слово "двойственность" лучше не употреблять (могут не так понять). Ну в $\mathbb{R}$ так бывает, что разные цифровые представления числа задают одно число. В чем проблема-то? Сформулируйте толком.

-- 19.12.2012, 20:26 --

ИСН в сообщении #660690 писал(а):

В цепных свои заморочки. Скажем, [1,2,1] и [1,3] - какая разница?

Если не ошибаюсь, там по определению даже полагается $\alpha_s > 1$ как раз для однозначности.

[ИСН]

Deggial в сообщении #660691 писал(а):

Если не ошибаюсь, там по определению даже полагается $\alpha_s > 1$.

Тогда в определении десятичной системы полагается, что $d_i<9$ (что такое i, формулировать не буду, как и Ваше s - это и так понятно). Совершенно аналогичный же случай.

[g______d]

Если задуматься, то бесконечные десятичные дроби --- не такая уж удобная вещь. Например, не существует такой функции $N(k)$, что $(a+b)_k$ определяется $a_l$ и $b_l$ для $1\leqslant l\leqslant N(k)$. Т. е. есть проблемы с существованием алгоритма сложения.

[Someone]

bigarcus в сообщении #660683 писал(а):

А вроде Кантор, когда строил взаимно-однозначное отображение точек квадрата и чисел, столкнулся с этой проблемой. Ему из-за двойственности записи пришлось его доказательство чуть переделывать - я так читал.

Он говорит об этой трудности. Но в своём доказательстве пользуется цепными дробями для иррациональных чисел.

[xmaister]

bigarcus в сообщении #660669 писал(а):

1) $0,999...$ и $1$ - это две разные записи одного числа, или два разных числа?

Что такое $0,99999....$? Дайтк определние и выясните, почему оно существует? Подёргайте аксиому полноты.

[matidiot]

Это своеобразная запись предела числового выражения, равного единице, абстракция, в отличие от конечной записи десятичной дроби с любым числом девяток.