Операторы, зависящие от параметра

[DLL]

Рассмотрим в гильбертовом пространстве $H = L_2(0,1)$ семейство неограниченных операторов, зависящих от параметра t:

$$ A\left( t \right) = - \frac{{d^2 }}{{dx^2 }}, $$

с областями определения

$$ D\left( {A\left( t \right)} \right) = \left\{ {u\left( x \right) \in W_2^2 \left( {0,1} \right):u\left( 0 \right) = u'\left( 1 \right) + \beta \left( t \right)u\left( 1 \right) = 0} \right\}. $$

Оператор, определенный таким образом, при каждом $t$ является самосопряженным и положительно-опредленным, если

$$ \beta \left( t \right) \ge \beta _0 > 0. $$

Интересно было бы найти $D\left( {A^{1/2} \left( t \right)} \right)$. В частности, насколько можно связать область опредленеия квадратного корня и квадрат нормы

$$ \left\| {A^{1/2} (t)u} \right\|^2 = \left( {A\left( t \right)u,u} \right) = \int\limits_0^1 {\left| {u'\left( x \right)} \right|^2 dx + \beta \left( t \right)\left| {u\left( 1 \right)} \right|^2 }. $$

[ewert]

Ну так и будет $W_2^1$ с условием Дирихле в нуле и безо всяких условий на правом конце для любого $t$.

Кстати, для положительности оператора бета вовсе не обязана быть именно строго положительной и даже имеет право быть немножко отрицательной.

[DLL]

Приходит в голову гипотеза, что:

$$ v \in D\left( {A^{1/2} (t)} \right), $$

тогда и только тогда

$$ \left| {\left( {A\left( t \right)u,v} \right)} \right| \le c\left\| {A^{1/2} (t)u} \right\|\forall u \in D\left( {A(t)} \right). $$

[ewert]

Мне пока что недосуг думать аккуратно (деталей же не помню), но в Вашем случае всё достаточно банально. Поскольку исходный оператор не только строго положителен, но ещё и отделён от нуля -- область определения корня из него получается замыканием области определения исходного оператора относительно нормы, задаваемой вот той самой квадратичной формой исходного. Последняя же эквивалентна (согласно простейшей из теорем вложения) норме в $W_2^1$. Ну а самая что ни на есть последняя норма держит значения в отдельных точках (и, в частности, условие Дирихле) -- но никак не держит значений производных. И, соответственно, граничное условие на правом конце для корня исчезает.

[DLL]

Хорошо. То есть получается исходный оператор $A(t)$ имеет переменную область определения, а его квадратный корень постоянную. Насколько типична такая ситуация для самосопряженных, положительно-определенных, дифференциальных операторов?

[ewert]

DLL в сообщении #652588 писал(а):

Насколько типична такая ситуация для самосопряженных, положительно-определенных, дифференциальных операторов?

Не скажу, насколько типична (не знаю), но конкретно этот пример показывает её достаточную естественность. При замыкании по более слабой норме естественно исчезать каким-то требованиям, которые специфичны для более сильной. На всякий случай ещё лишь обращу внимание (может, и без необходимости), что корень из оператора минус двукратного дифференцирования -- вовсе не является дифференциальным оператором.

[DLL]

Хотелось бы сконструировать диф. оператор таким образом, чтобы и квадратный корень имел переменную область.
Полагаю, что это возможно, если мы немного видоизменим граничное условие в точке 1:
$\alpha(t) u'(1) + u(1) = 0.$
При этом $\alpha(t)$ где-то должна обращаться в нуль.

[g______d]

Да, так будет правда. При $\alpha(t)=0$ областью определения квадратного корня будет $W_2^1$ с нулями на обоих концах, а при $\alpha(t)\neq 0$ будет только с нулем на левом конце.

[DLL]

Хорошо. Теперь мы получили оператор $A(t)$ с переменной областью определения $D(A(t))$, при чем квадратный корень $A^{1/2}(t)$ тоже имеет переменную область определения $D(A^{1/2}(t))$.

Интересно, а что можно сказать про область определения $D(A^{1/4}(t))$? В отличие от $D(A^{1/2}(t))$ не очень понятно, как ее вообще искать.

[ewert]

DLL в сообщении #660180 писал(а):

В отличие от $D(A^{1/2}(t))$ не очень понятно, как ее вообще искать.

А Вы уверены, что Вы знаете конструктивное описание самого $A^{1/2}(t)$ -- именно оператора?...

Вы знаете конструктивное описание его области определения -- но лишь потому, что исходный оператор $A(t)$ был дифференциальным в том смысле, что задавался явным дифференциальным выражением. А вот к оператору $A^{1/2}(t)$ это уже не относится.

[g______d]

Смотря в каких терминах. Можно же найти собственные функции оператора $A$ и в терминах коэффициентов Фурье описать область определения любой функции от $A$.

[ewert]

g______d в сообщении #660216 писал(а):

и в терминах коэффициентов Фурье описать область определения любой функции от $A$.

Вот именно что разве что.

[DLL]

ewert в сообщении #660183 писал(а):

DLL в сообщении #660180 писал(а):

В отличие от $D(A^{1/2}(t))$ не очень понятно, как ее вообще искать.

А Вы уверены, что Вы знаете конструктивное описание самого $A^{1/2}(t)$ -- именно оператора?...

Вы знаете конструктивное описание его области определения -- но лишь потому, что исходный оператор $A(t)$ был дифференциальным в том смысле, что задавался явным дифференциальным выражением. А вот к оператору $A^{1/2}(t)$ это уже не относится.

Я с этим согласен.
Тем не менее, вопрос все равно интересен в следующем контексте.
В последнем примере мы сконструировали переменный оператор, у которого половинка имеет кусочно-постоянную область определения.
А вот интересно, может быть его "четвертинка" имеет снова постоянную область определения?