Ряд Фурье на интервале и на отрезке

[Limit79]

То есть на $(a;b)$ и на $[a;b]$. Подскажите, пожалуйста, в чем различие между первым и вторым?

Смотрю в одной книге пример, есть $f(x) = x$ при $0 < x < l$ (то есть $(0;l)$). При разложении по синусам пишут, что: "...разложении функции в интервале [0;1] (но это же отрезок?) по косинусам находим по формулам..."

Спасибо!

-- 18.12.2012, 23:13 --

Было бы вообще супер, если бы сказали, что почитать по рядам Фурье, желательно с большим кол-вом примеров.

[SpBTimes]

А это не важно. Теорема о сходимости в разрывах все равно к точке $\frac{f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)}{2}$

[Limit79]

SpBTimes
То есть если $f(x)$ задана на $[a;b]$, то значения суммы на концах отрезка соответственно равны $f(a)$ и $f(b)$, если же $f(x)$ задана на интервале $(a;b)$, то значения суммы ряда на концах интервала равна $\frac{f(a+0)-f(a-0)}{2}$ и $\frac{f(b+0)-f(b-0)}{2}$ ?

[SpBTimes]

Нет. Прочитайте теорему о сходимости ряда Фурье

[Limit79]

SpBTimes
Почитал, не на концах интервала, а в точках разрыва. А как тогда вычислить значение суммы на концах интервала?

[SpBTimes]

Limit79
а на концах либо скачок, либо непрерывно. Так что все ок

[Limit79]

SpBTimes
У меня есть вот такое задание:
Разложить функцию в ряд Фурье по синусам, определить сумму ряда в точках разложения.

$f(x) = x-2$, $0<x< \pi$

Как я понимаю, я должен найти $S(0)$ и $S( \pi)$ ?

[SpBTimes]

Нет, сумму нужно определить во всех точках

[Limit79]

SpBTimes
Во всех точкам на данном отрезке? А как это сделать? Хотя бы примерно.

-- 19.12.2012, 02:43 --

Или Вы имеет виду: $S(0)$ и $S( \pm \pi)$ ?

[SpBTimes]

Вы теорему прочли? Прочтите, и узнаете

[ewert]

Limit79, коэффициенты Фурье определяются интегралами, а интегралы нечувствительны к изменениям значений функции в нескольких отдельных точках. Поэтому значение суммы ряда Фурье в конкретной точке (если оно вообще существует, т.е. если ряд в этой точке сходится) определяется не значением раскладываемой функции в этой точке, а поведением в её окрестности -- например, предельными значениями слева и справа. Конечно, последнее существенно лишь для точек разрыва. Но поскольку сумма ряда периодична -- концы отрезка после сдвига отрезка склеиваются в одну внутреннюю точку, и различие предельных значений на концах превращается в разрыв.

[Limit79]

SpBTimes
Прочитал, там как раз говорится о точках разрыва, вот в них я и нашел значения суммы ряда.

[Limit79]

ewert
Спасибо, с этим моментом разобрался, а вот что за "точки разложения"...

[ewert]

Limit79 в сообщении #661442 писал(а):

а вот что за "точки разложения"...

Недостаточная грамотность речи. Того же типа, что и путаница между интервалом и отрезком.

[Limit79]

ewert
Мне вот тоже так кажется, перерыл весь интернет и книжек так 15 по мат. анализу, нигде не нашел подобного задания.

Видимо таки в задании имелась ввиду сумма на концах интервала, больше не могу тут ничего придумать...