Откуда берутся целые числа, рациональные числа?

[xmaister]

Множества натуральных чисел можно определить с помощью аксиоматики Пеано. А как из множества натуральных чисел построить множество целых чисел. Т.е. почему $\mathbb{Z}$ существует? $\mathbb{Q}$ вроде понятно как строить. Будем рассмотривать поле частных $(\mathbb{Z}\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{Z}$ и обзовем его $\mathbb{Q}$.

[ewert]

xmaister в сообщении #660111 писал(а):

$\mathbb{Q}$ вроде понятно как строить. Будем рассмотривать поле частных $(\mathbb{Z}\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{Z}$ и обзовем его $\mathbb{Q}$.

Ну если это "поле частных", то там, соответственно, "кольцо разностей". Т.е. результат замыкания относительно соответствующей операции. Правда, я не понял, что Вы в точности понимаете под "частными".

[xmaister]

ewert в сообщении #660114 писал(а):

Ну если это "поле частных", то там, соответственно, "кольцо разностей".

Это как?

ewert в сообщении #660114 писал(а):

Правда, я не понял, что Вы в точности понимаете под "частными".

Как стандартную конструкцию кольца частных $(A,+,\cdot)$. Берём какой-то подмоноид $S\subset (A,\cdot)$ и вводим на $A\times S$ отношение $\sim$, так что $(a,s)\sim (a',s')\Leftrightarrow \exists s_1\in S: s_1(as'-a's)=0$. Переходим к фактор множеству и будем обозначать класс эквивалентности, содержащий $(a,s)$ как $a/s$. Умножать складывать понятно как.

[ewert]

Так ровно так же. Рассмотрите на $\mathbb N\times\mathbb N$ отношение эквивалентности: $(ab)\sim(c,d)\ \Leftrightarrow\ a+d=c+b$ -- и факторизуйте.

[apriv]

Это называется «группа Гротендика»: имеется функтор из категории абелевых моноидов в категорию абелевых групп, левый сопряженный к забывающему. Например, для такого моноида $M$ можно на парах элементов из $M$ задать отношение эквивалентности: $(a,b)\sim (c,d)$ тогда и только тогда, когда для некоторого $s\in M$ выполнено $a+d+s=b+c+s$. Фактор-множество $K(M)$ по этому отношению эквивалентности снабжается покомопонентной операцией и становится группой. Эта группа (вместе с каноническим отображением $a\mapsto \overline{(a,0)}$) и будет группой Гротендика моноида $M$. Несложно видеть, что это продолжается до функтора, обладающего нужным универсальным свойством.