вопрос по заряду на конденсаторе

[kis]

http://s1.ipicture.ru/uploads/20121215/W4SpSeG2.jpg

рис. а - ключ в положение 1, рис. б - ключ в положение б. емкости всех конденсаторов равны. дано: $\xi, C$
мне нужно найти, сколько теплоты $Q$ выделится, если ключ из положения 1 перевести в положение 2.
энергия конденсаторов в первом случаи равна энергии конденсаторов во втором случаи($\Delta W = 0$), поэтому выделившееся тепло определяется формулой:
$Q = A$, $Q = \xi \Delta q$
Я знаю, что, когда ключ переместили в положение 2, будет кратковременный ток до тех пор, пока не выравняются потенциалы. На конденсаторах изменится заряд(заряды ДО и ПОСЛЕ даны на рисунке).

Из рисунка можно сообразить, какой заряд пройдет через источник. Но если цепь будет сложнее, то не факт, что из рисунка можно будет увидеть, сколько прошло заряда через источник. поэтому вопрос - как строго математически записать, какое количество заряда прошло через источник?

[kis]

хостинг умер:
http://s4.hostingkartinok.com/uploads/i ... 792d73.png

[kis]

это же вроде просто. актуально.

[rustot]

kis в сообщении #658716 писал(а):

поэтому вопрос - как строго математически записать, какое количество заряда прошло через источник?

вычислить установившееся напряжение до и после на каждом конденсаторе (следя за полярностью), отсюда какой заряд протек через каждый из них, отсюда заряд через источник.

[kis]

если вы имеете в виду, что нужно вычислить алгебраически сложить заряды конденсаторов до и после, а потом посчитать разность этих чисел, то я уже так пробовал:
$\Delta q = \Sigma q_2 - \Sigma q_1 = (\xi C/3 + \xi C/3 + 2 \xi C/3) - (2\xi C/3 - \xi C/3 + \xi C/3) = 2\xi C/3$
не сходится с ответом.
или я вас не понял?

[rustot]

так я же написал "cледя за полярностью". при перекидывании контакта слева направо напряжение в левой ветке вдвое выросло с $\frac{U}{3}$ до $\frac{2U}{3}$, в правой аналогично вдвое упало, напряжение обратно пропорционально емкостям веток.

значит через левый стационарный конденсатор, для увеличения напряжения, протек дополнительный заряд $\frac{CU}{3}$... кстати на этом можно и закончить, сколько через него протекло, столько протекло и через источник.

но для проверки посмотрим что дальше. на правом стационарном заряд уменьшился, то есть протек против выбранного нами положительным направления $-\frac{CU}{3}$. а вот с перекоммутируемым интереснее всего, на нем в результате перекидывания напряжение по модулю не изменилось, зато сменило знак, значит через него протекло как раз $\frac{2CU}{3}$ чтобы соблюсти баланс

[kis]

так вы решаете аналитически. меня не удовлетворяет такое решение, потому что, я боюсь, не во всех задачах подобного типа будет также просто увидеть куда, какой заряд перетек. поэтому и прошу, чтобы мне помогли формально составить уравнение, из которого я могу найти искомое $\Delta q$.
не понял про полярность. полярность меняется только на конденсаторе, находящемся по середине. это я учел в уравнение выше(если это уравнение вообще верное!).

[rustot]

так тут как раз и не надо ничего разглядывать. расписать какие напряжения были на элементах вначале, какие напряжения были на них в конце, отсюда как _изменилось_ в результате напряжение на каждом из конденсаторов, отсюда получается какой через каждый из них протек заряд. не нужно рассматривать сам процесс переключения, только что было и что стало, а как это происходило получится автоматически

[kis]

у меня, к сожалению, с ответом не сходится :(
Я вычислил суммы зарядов ДО и ПОСЛЕ, а потом нашел изменение:
$v_{\text do} = v_1 + v_2 + v_3 = \xi/3 + \xi/3 + 2 \xi / 3$
$U_{\text posle} = U_1 + U_2 + U_3 = 2 \xi/3 + (-\xi/3) + \xi/3$
$\Delta U = U_{\text posle} - v_{\text do} = 2 \xi/3 + (-\xi/3) + \xi/3 - (\xi/3 + \xi/3 + 2 \xi / 3) = -2\xi/3$ - не сходится. что не так сделал?

[rustot]

надо не сумму зарядов считать, а сколько протекло через каждый. через первый протекло +1, на нем увеличилось напряжение, через второй +2, на нем напряжение сменило знак, через третий -1, на нем уменьшилось напряжение. током цепи является либо ток через первый либо равный ему ток второго+третьего. а не ток первого+второго+третьего

[kis]

почему через второй протекло +2? ведь сначала на втором конденсаторе был заряд +1, а стало -1 -- значит нужно, чтобы через него протек заряд -2?

-- 17.12.2012, 21:14 --

мне кажется я начал понимать. чтобы найти ток, который протек через источник, нужно найти ток цепи. т.е. нужно представить цепь в виде неразветвленной цепи и посчитать изменение заряда на каком-либо конденсаторе этой неразветвленной цепи.
значит, для этой задачи протекший заряд через источник - это изменение заряда либо на первом конденсаторе, либо на втором и третьем.

-- 17.12.2012, 21:19 --

Да, точно:
т.к. протекший через ЭДС заряд - это изменение заряда какого-либо конденсатора, этой неразветвленной цепи, то, значит, изменение заряда на первом конденсаторе, равно изменению заряда на втором и третьем:
первый конденсатор: $\Delta q_{1} =2q - q = q$
второй и третий: $\Delta q_{2-3} = q + q - (-q + 2q) = q$
$\Delta q{1} = \Delta q_{23} = q$

все, я вроде разобрался. большое вам спасибо!

[rustot]

kis в сообщении #659871 писал(а):

почему через второй протекло +2? ведь сначала на втором конденсаторе был заряд +1, а стало -1

на нем было +1, потом его перекоммутировали так, что на нем стало -1 (в соответствии с выбранным положительным направлением тока) и он перезарядился до +1. единственный конденсатор по которому заряд тек против положительного направления - это разряжающийся с 2 до 1 правый. то есть реально через средний протек заряд и правого и левого.

[kis]

да, понял. спасибо!