решить в натуральных числах: (x^x)*(y^y)=z^z

[maxal]

Решить в натуральных числах x,y,z > 1:

$$x^x y^y = z^z.$$

[VladimirVK]

Решений нет и никогда не было

[maxal]

VladimirVK писал(а):

Решений нет и никогда не было

Докажите.

[VladimirVK]

Из единственности разложения на простые множители следует,что z содержит все простые делители как x так и у и никаких других, стало быть z делиться на xy , или z=kxy , где k>=1 и содержит какие-то простые делители x и/или y.
Осталось после этого взять логарифм и убедиться что либо кx либо кy (или оба) равны 1.
Действительно
xlnx + ylny = kxylnx + kxylny + kxylnk
Левая часть меньше правой. Что невозможно для чисел >1.

[Brukvalub]

VladimirVK писал(а):

z содержит все простые делители как x так и у и никаких других, стало быть z делиться на xy , или z=kxy

Это сомнительно, поскольку в условии задачи речь идет о степенях сомножителей, а не о самих сомножителях. Например, 2 не делится на 4, но

\[2^3\]

уже делится на 4.

[VladimirVK]

Вообще-то я говорил о простых делителях Так что в этом плане сомнений не разделяю.

[Brukvalub]

VladimirVK писал(а):

стало быть z делиться на xy , или z=kxy

Сомнения мои касаются этого Вашего заявления. Если число z содержит только те простые делители, которые входят в разложения чисел x , y , то оно вовсе не обязано делиться на ху.

[maxal]

VladimirVK писал(а):

z содержит все простые делители как x так и у и никаких других, стало быть z делиться на xy

Совсем не стало быть. Например, возможна ситуация, когда все три числа $x,y,z$ делятся на некоторое простое $p$, но не на $p^2$. Тогда $z$ не делится на $xy,$ но равенство $x^x y^y = z^z$ тем не менее может выполняться: в частности, при $x+y=z$ степени простого $p$ в обоих частях будут равны.

[VladimirVK]

Да , что-то я здесь лопухнулся...

[VladimirVK]

Пусть простое p делит x и не делит y. Ясно что p делит также z. Но тогда показатель степени p слева и справа нашего выражения должен быть одинаков .Следовательно x=y ,что противоречит условию x,y,z>1.
Следовательно простое p делит также y.Но показатели степени p слева и срава должны быть равны , следовательно x+y=z. Следовательно (x^x)*(y^y)=z^(x+y) = (z^x)*(z^y) . Но из x+y=z следует z>x и y. То есть в выражении (x^x)*(y^y)= (z^x)*(z^y) правая часть больше , что противоречит условию равенства.
Похоже правильно

[Руст]

Если взять любое простое число р и рассмотреть на какую степень простого числа делятся левые и правые части, получается равенство $xord_p(x)+yord_p(y)=zord_p(z).$
Отсюда получается, что $x=t^m,y=t^n,z=t^k, mt^m+nt^n=kt^k.$
Последнее возможно только если mn=0. Это дает тривиальные решения x=1,y=z или x=z, y=1.

[student]

VladimirVK писал(а):

Решений нет и никогда не было

И не будет да?

[VladimirVK]

Цитата:

Отсюда получается, что $x=t^m,y=t^n,z=t^k$

Если возможно , нельзя-ли подробнее , не могу понять почему так. Будьте любезны.

[Руст]

Для каждого простого р числа $(ord_p(x),ord_p(y),ord_p(z))$ пропорциональны, так как другое решение получается добавлением (a,b,c) с условием xa+yb=0 что невозможно для порядков.

[VladimirVK]

Спасибо.