Геометрические приложения производной.

[Oleg_BM]

Через точку $(1;1;1)$ окружности $x^2+y^2+z^2=3\;\;\;\;\;, x+2y-3z=0$ проведена касательная прямая.

В какой точке касательная плоскость к цилиндру $x=u^2+v^2,\;\;\;\;\;y=uv,\;\;\;\;\;\;\;z=u-v\;\;\;\;\;\;$

перпендикулярна этой прямой? Достаточно выписать систему уравнений на искомую точку.

С чего здесь начать? Я понял, что плоскость пересекается со сферой по окружности. Я так понял, что нам нужно найти точку, для которой нормаль к касательной плоскости должна быть параллельна касательной прямой, то есть скалярное произведение вектора нормали с касательным вектором прямой должно быть равно нулю...Не?

[ИСН]

Когда векторы параллельны, то их скалярное произведение что?

-- Пн, 2012-12-17, 20:14 --

(Оффтоп)

\quad

[Oleg_BM]

Равно 1=) То есть векторное произведение равно нулю)

-- 17.12.2012, 19:20 --

(Оффтоп)

Спасибо за \quad =)

[ИСН]

Так. Теперь как выглядит касательная плоскость к поверхности, заданной в таком виде, как тут?

[Oleg_BM]

ИСН в сообщении #659867 писал(а):

Так. Теперь как выглядит касательная плоскость к поверхности, заданной в таком виде, как тут?

Я так понял, что это плоскость, у которой в качестве нормали можно взять векторное произведение векторов $\vec u=(x'_u,y'_u,z'_u)$ и вектора $\vec v=(x'_v,y'_v,z'_v)$?

[ИСН]

Видимо, так. Ну и...?

[Oleg_BM]

Нормаль к сфере - это $(2x,2y,2z)$, в точке $(1;1;1)$ нормаль к сфере будет $\vec n_1 =(2;2;2)$. Тогда направляющий вектор касательной прямой должен быть перпендикулярен к нормали к сфере и вектору $\vec n_1 =(1;2;-3)$. Верно?

Тогда направляющий вектор прямой - это векторное произведение $\vec N=[\vec n_1 \times\vec n_1 ]$

-- 17.12.2012, 20:34 --

У нас есть векторное произведение векторов $\vec u=(x'_u,y'_u,z'_u)$ и вектора $\vec v=(x'_v,y'_v,z'_v)$, которое обозначу $\vec M=[\vec u\times \vec v]$

Тогда задача свелась к тому, чтобы найти $[\vec N\times \vec M]$. Верно?

[ИСН]

Да я смотрю, Вы и без нас всё знаете. Ну да, так, и там осталось всего ничего.

[Oleg_BM]

ИСН в сообщении #659882 писал(а):

Да я смотрю, Вы и без нас всё знаете. Ну да, так, и там осталось всего ничего.

Спасибо, дальше понятно. Только не до конца понятно вот это.

Цитата:

Я так понял, что это плоскость, у которой в качестве нормали можно взять векторное произведение векторов $\vec u=(x'_u,y'_u,z'_u)$ и вектора $\vec v=(x'_v,y'_v,z'_v)$

А сказал я так, потому что видел аналогичный пример, там как раз считали такое векторное произведение. А почему именно это векторное произведение будет нормалью?

[ИСН]

Ну э. Мы стоим в какой-то точке на поверхности. Сдвинемся на децл по v. Получится вектор $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$. Дельты выражаются через производные. Это какой-то касательный вектор. Теперь сдвинемся по u. Получим другой касательный вектор. Ну а кто у нас перпендикулярен двум касательным векторам?

[Oleg_BM]

ИСН в сообщении #659899 писал(а):

Ну э. Мы стоим в какой-то точке на поверхности. Сдвинемся на децл по v. Получится вектор $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$. Дельты выражаются через производные. Это какой-то касательный вектор. Теперь сдвинемся по u. Получим другой касательный вектор. Ну а кто у нас перпендикулярен двум касательным векторам?

Возьмем очень маленький $\Delta u$, тогда:

$\Delta x=x'_u\Delta u$

$\Delta y=y'_u\Delta u$

$\Delta z=z'_u\Delta u$

Так? Ну а перпендикулярно -- векторное произведение.

[ИСН]

Именно.