Нахождение сумм sin и cos с коэффициентами

[Keter]

Найти:

$$S_n=\sum_{i=1}^n a^i \sin ix,$$

$$T_n=\sum_{i=0}^n a^i \cos ix.$$

Правильный ли подход?

Делал так:

1) рассмотрел сумму:

$$1+az+a^2 z^2+...+a^n z^n=\dfrac{1-a^{n+1} z^{n+1}}{1-az};$$

2) выделил $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ в левой части:

$$\bigg( 1+a \cos x+...+a^n \cos nx \bigg) + i \bigg( a \sin x+...+a^n \sin nx \bigg),$$

$$\operatorname{Re}=\sum_{i=0}^n a^i \cos ix=T_n, \quad \operatorname{Im}=\sum_{i=1}^n a^i \sin ix=S_n;$$

3) аналогично поступил и с правой частью

$$\dfrac{1-a^{n+1} z^{n+1}}{1-az}=\dfrac{(1-a \bar{z})(1-a^{n+1} z^{n+1})}{(1-az)(1-a \bar{z})};$$

знаменатель переписал в виде

$$a^2-2a \cos x +1,$$

числитель переписал в виде

$$1-a \cos x - a^{n+1} \cos (n+1)x+a^{n+2} \cos x \cos (n+1)x +a^{n+2} \sin x \sin (n+1) x+$$

$$+i \Big( a \sin x-a^{n+1} \sin (n+1)x +a^{n+2} \cos x \sin (n+1) x - a^{n+2} \sin x \cos (n+1)x \Big),$$

теперь не составит труда записать

$$1+a( \cos nx - \cos x ) - a^{n+1} ( \cos (n+1)x - \cos nx )+$$

$$+i \Big( a ( \sin x + \sin nx) - a^{n+1} ( \sin (n+1)x - \sin nx) \Big).$$

Заключаем, что

$$S_n=\dfrac{a ( \sin x + \sin nx) - a^{n+1} ( \sin (n+1)x - \sin nx)}{a^2-2a \cos x +1},$$

$$T_n=\dfrac{1+a( \cos nx - \cos x ) - a^{n+1} ( \cos (n+1)x - \cos nx )}{a^2-2a \cos x +1}.$$

Так и не понял роль коэффициентов $a^i$. Из-за них чистых множителей (как в случае без них) в суммах не будет. Поэтому слаживать тригонометрию в скобочках или нет - даже не знаю как оно лучше будет.

[xmaister]

Keter в сообщении #659568 писал(а):

1) рассмотрел сумму:

$$1+az+a^2 z^2+...+a^n z^n=\dfrac{1-a^{n+1} z^{n+1}}{1-az};$$

$z$- комплексная экспонента? Так, вроде все верно, да.

Keter в сообщении #659568 писал(а):

Так и не понял роль коэффициентов $a^i$. Из-за них чистых множителей (как в случае без них) в суммах не будет. Поэтому слаживать тригонометрию в скобочках или нет - даже не знаю как оно лучше будет.

В каких скобочках что слаживать? Не понял вопроса... Вы получили верный ответ, а все верные ответы одинаково верны.

[Keter]

xmaister, хотел сказать, что будь задание найти суммы без коэфф $a$, например $\sum_i \sin ix$, то можно было бы сложить тригонометрию в скобочках $(\cos nx - \cos x)$ и другие, а потом вынести что-то общее. Тогда получился бы ответ состоящий из множителей. А здесь, даже преобразуя тригонометрию - мешает $a$ что-то вынести. Поэтому от слагаемых никуда не уйти. Но это придирки

Цитата:

Так, вроде все верно, да.

Вот это радует Спасибо.