Найти сумму

[DjD USB]

Найти сумму ряда: $\sin x +\sin 2x +...+ \sin (nx)$. Пробовал суммировать 1-е с последнем, 2-е с предпоследним и т.д., но ничего это не дало. Пока больше идей нет.

[Deggial]

Используйте формулу Эйлера $e^{ix}=\cos x + i\sin x$, а дальше видно.
Можете заглянуть еще в соседнюю тему

[TOTAL]

Вот ещё потренируйтесь

$S_n=\sin x +\sin 2x +...+ \sin (nx)$
$C_n=\cos x +\cos 2x +...+ \cos (nx)$

$S_{n+1}=S_n+\sin (nx+x)$
$S_{n+1}=\sin x+ C_n \sin x + S_n \cos x$

Аналогично
$C_{n+1}=$
$C_{n+1}=$

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #659582 писал(а):

$S_{n+1}=\sin x+ C_n \sin x + S_n \cos x$

Как вы это получили?

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #659584 писал(а):

TOTAL в сообщении #659582 писал(а):

$S_{n+1}=\sin x+ C_n \sin x + S_n \cos x$

Как вы это получили?

Вспомнил равенство $\sin (a+b)=\sin (a) \cos(b) + \sin (b) \cos(a)$

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #659585 писал(а):

Вспомнил равенство $\sin (a+b)=\sin (a) \cos(b) + \sin (b) \cos(a)$

Если так то $S_{n+1}=S_n+\sin (nx+x)= S_{n}+ \sin (nx)\cos (x) + \cos (nx)\sin (x)$. Не понимаю, как вы получили отсудова, то что вы получили?

[ИСН]

Потому что крутить и пробовать надо, ну. А если я сделаю так. А если преобразую вот эдак.
$S_{n+1}=\sin x+$ что-то ещё. Там была куча слагаемых. Все они куда-то делись. Куда? Последнее-то понятно: его развернули по формуле. А остальные? Ведь их никак... oh shit!

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #659586 писал(а):

Если так то $S_{n+1}=S_n+\sin (nx+x)= S_{n}+ \sin (nx)\cos (x) + \cos (nx)\sin (x)$. Не понимаю, как вы получили отсудова, то что вы получили?

Я трудился над каждым слагаемым, примерно так:
$\sin (2x) = \sin (x+x)$
$\sin (3x) = \sin (2x+x)$
$\sin (4x) = \sin (3x+x)$
$\sin (5x) = \sin (4x+x)$
$\sin (6x) = \sin (5x+x)$
$\sin (7x) = \sin (6x+x)$
$\sin (8x) = \sin (7x+x)$
$\sin (9x) = \sin (8x+x)$
и т.д.

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #659588 писал(а):

DjD USB в сообщении #659586 писал(а):

Если так то $S_{n+1}=S_n+\sin (nx+x)= S_{n}+ \sin (nx)\cos (x) + \cos (nx)\sin (x)$. Не понимаю, как вы получили отсудова, то что вы получили?

Я трудился над каждым слагаемым, примерно так:
$\sin (2x) = \sin (x+x)$
$\sin (3x) = \sin (2x+x)$
$\sin (4x) = \sin (3x+x)$
$\sin (5x) = \sin (4x+x)$
$\sin (6x) = \sin (5x+x)$
$\sin (7x) = \sin (6x+x)$
$\sin (8x) = \sin (7x+x)$
$\sin (9x) = \sin (8x+x)$
и т.д.

Да, спасибо большое, теперь я понял, как вы это получили.

-- Пн дек 17, 2012 09:37:37 --

Возвращаюсь к изначальной задаче. Я прочитал про формулу эйлера http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... B%E5%F0%E0 Но все равно не понятно, как это применить.

[Евгений Машеров]

Соедините её с формулой суммы геометрической прогрессии.

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #659591 писал(а):

Возвращаюсь к изначальной задаче.

Откуда возвращаетесь? Равенство

$\sin x+ C_n \sin x + S_n \cos x=S_n +\sin (nx+x)$

и второе аналогичне как раз и позволяют решить изначальную задачу.

[DjD USB]

Если я правильно понял, то из равенства $ \cos x +C_n \cos x- S_n \sin x=C_n + \cos(nx+x)$ Надо варазить $C_n$ и подставить в первое равенство.

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #659630 писал(а):

Если я правильно понял, то из равенства $ \cos x +C_n \cos x- S_n \sin x=C_n + \cos(nx+x)$ Надо варазить $C_n$ и подставить в первое равенство.

Да, из двух уравнений находите $S_n$ (как бонус, можете найти и $C_n$)

Затем решите задачу методом

Deggial в сообщении #659577 писал(а):

Используйте формулу Эйлера $e^{ix}=\cos x + i\sin x$, а дальше видно.

Сравните результаты.

[DjD USB]

Вот я и не знаю как этим методом решать. Говорю же, читал про эту формулу, но как связать не понял.

[nnosipov]

Ещё один способ --- домножить $S_n$ на $\sin{(x/2)}$, после чего, записав произведения синусов через разность косинусов, устроить телескопическое суммирование. Но суммировать геометрическую прогрессию здесь было бы самым простым и естественным способом (несмотря на то, что этот способ требует привлечения комплексных чисел и формулы Муавра).