Личный 4-объём

[Утундрий]

Некий наблюдатель, родившись (событие $A$), жил долго и счастливо, после чего благополучно помер (событие $B$). Говорят, что история эта случилась в неискривленном пространстве-времени и что прочие наблюдатели тут же принялись теоретически возможный максимум собственного времени почившего исчислять, да и ровно $T$ световых метров исчислили. Рассмотрим четырехмерную область, образованную пересечением внутренностей конуса будущего для события $A$ с внутренностью конуса прошлого для события $B$ и вычислим её 4-объём. Спрашивается, каким образом может измениться означенный 4-объём, ежели вышеупомянутый максимум по-прежнему $T$, а наблюдатель всю жизнь на поверхности гравитирующей массы просидел? Масса сия мало того, что покоилась не вращаючись, так еще и равномерно по шару распределена была, радиус коего много больше шварцшильдового был. Такоже, наблюдатель зело копанием владел, так что внутренности массы при расчете 4-объёма исключать не станем.

[Утундрий]

Наверное стоит двигаться маленькими шажками. Когда все плоское, посчитать можем? Когда сидим в центре шара, посчитать можем?..

[Утундрий]

И тишина...

Обзовем через $\Omega _A^B$ четыре-объем фигуры, образованной пересечением конуса будущего для события $A$ с конусом прошлого для события $B$. Пространство-время плоское, чему равно омега?

[Munin]

Утундрий в сообщении #659369 писал(а):

И тишина...

Мне задача показалась жутко неинтересной. По сути всё понятно, а считать - много и заунывно.

[Утундрий]

Если все понятно, зачем считать? Можно просто привести ответ.

[Munin]

На словах: надо провести световые конусы в будущее из начальной точки и в прошлое из конечной точки. В метрике, которая снаружи от массы шварцшильдовская, а внутри - можно взять ньютоновское приближение и гравитационный потенциал в шаре.

Лучше объясните, чем вас эта задача заинтересовала. Или раскройте карты: что за фишку вы в ней видите.

[Утундрий]

Munin в сообщении #660508 писал(а):

На словах: надо провести световые конусы в будущее из начальной точки и в прошлое из конечной точки. В метрике, которая снаружи от массы шварцшильдовская, а внутри - можно взять ньютоновское приближение и гравитационный потенциал в шаре.

Поправьте меня, если это не пересказ условия задачи. Фраза "всё понятно" относилась к условию, а не к ответу?

Munin в сообщении #660508 писал(а):

чем вас эта задача заинтересовала

Мне стало интересно, можно ли практически варьировать количество событий, способных дать сдачи
И параллельно получилось некое (вроде бы более универсальное) обобщение мировой функции Синга.

[Munin]

Утундрий в сообщении #660523 писал(а):

Поправьте меня, если это не пересказ условия задачи.

Тогда в задаче вообще ничего не остаётся, кроме как считать. А вы пишете "зачем считать"...

Утундрий в сообщении #660523 писал(а):

Мне стало интересно, можно ли практически варьировать количество событий, способных дать сдачи

Ну, если вы считаете, что количество событий пропорционально 4-объёму, а собственное время наблюдателя считаете фиксированным, и вас интересует неколичественный ответ...

Всё пространство-время можно разделить на две части. В одной время течёт быстрее, чем у наблюдателя, в другой - медленнее. В данном случае, быстрее - это над шаром, медленнее - внутри шара. Световые конусы, искривляясь, подыгрывают: в области более быстрого времени свет идёт быстрее, и световой конус получается шире; а в области более медленного времени свет идёт медленнее, и конус получается уже. Изменение 4-объёма - это изменение скорости времени, умноженное на 3-объём. Изменения скорости времени в данном случае внутри и снаружи - одного порядка, равного ньютоновскому потенциалу. А вот 3-объёмы существенно разные: внутри - это объём шара, снаружи - световые годы в кубе. Если, конечно, наблюдатель не жил долго и счастливо порядка миллисекунды.

Так что, получается, 4-объём для наблюдателя на шаре больше 4-объёма для наблюдателя в космосе. Можно даже прикинуть порядок, пренебрегши шаром и прочими тонкостями.

Можно ли сделать 4-объём меньше - не знаю. Ещё была бы засада посчитать 4-объём во вселенной Фридмана.

Утундрий в сообщении #660523 писал(а):

обобщение мировой функции Синга.

Кабы я помнил, что это такое...

[SergeyGubanov]

Для плоского пространства просто:

$$\Omega_T = \frac{4 \pi c}{3} \left( \int\limits_0^{T/2} r_{+}^3(t) \, dt + \int\limits_{T/2}^{T} r_{-}^3(t) \, dt \right) = \frac{\pi }{24}c^4 T^4$$

$$r_{+}(t) = c \, t$$

$$r_{-}(t) = c (T - t)$$

Для искривлёнки сложнее.

Пусть $R$ - радиус однородной несжимаемой планеты, а $a$ - её гравитационный радиус. Тогда метрика снаружи $r > R$

$$ds^2 = \left( 1 - \frac{a}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{a}{r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Метрика внутри $r < R$:

$$ds^2 = \left( 1 - \frac{a r^2}{R^3} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{a r^2}{R^3}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Сначала надо вычислить трёхмерный объём внутри поверхности, до которой дошёл сигнал испущенный из точки "А" к моменту времени t.

Уравнение эйконала $g^{\mu \nu} \frac{\partial \psi}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \psi}{\partial x^{\nu}} = 0$ снаружи $r > R$:

$$\frac{1}{1-\frac{a}{r}} \frac{1}{c^2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)^2 - \left( 1-\frac{a}{r} \right) \left( \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)^2 - \frac{1}{r^2}\left( \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right)^2 - \frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2}\left( \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} \right)^2 = 0$$

Внутри $r < R$:

$$\frac{1}{1-\frac{a r^2}{R^3}} \frac{1}{c^2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)^2 - \left( 1-\frac{a r^2}{R^3} \right) \left( \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)^2 - \frac{1}{r^2}\left( \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right)^2 - \frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2}\left( \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} \right)^2 = 0$$

Располагаем точку "A" на "северном полюсе" - убираем зависимость от $\varphi$.

Эйконал снаружи

$$\psi = \psi_1 - \omega t + \ell \theta \pm \int dr \sqrt{\left( 1 - \frac{a}{r}\right)^{-1} \left( \frac{\omega^2}{c^2} \left( 1 - \frac{a}{r}\right)^{-1} -\frac{\ell^2}{r^2} \right)}$$

Эйконал внутри

$$\psi = \psi_2 - \omega t + \ell \theta \pm \int dr \sqrt{\left( 1 - \frac{a r^2}{R^3}\right)^{-1} \left( \frac{\omega^2}{c^2} \left( 1 - \frac{a r^2}{R^3}\right)^{-1} -\frac{\ell^2}{r^2} \right)}$$

Их надо ещё друг с другом сшить (для этого константы $\psi_1$ и $\psi_2$).

Уравнение поверхности фронта сигнала $\psi = \operatorname{const}$. На том как сосчитать объём внутри этой поверхности я завис...

[Утундрий]

(Оффтоп)

Подозрительная какая-то внутренняя метрика

SergeyGubanov
Давайте для простоты сперва поместим старт и финиш наблюдателя в центр звезды.

[SergeyGubanov]

Почему-то мало кому известно, что Шварцшильд нашёл два решения. Вот это они оба и есть. А вы какую метрику внутри планеты имели ввиду?

Да, точно, если старт и финиш в центр засунуть, всё будет гораздо проще.

[Утундрий]

Снаружи вакуум, внутри лямбда постоянная, условия Лихнеровича на границе не выполнены... Классное решение. Главное, выглядит красиво и на Шварцшильда ссылка имеется.

Я имел в виду простой каменный шарик.

[SergeyGubanov]

Камень абсолютно твёрдый или сжимаемый?

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #662219 писал(а):

Камень абсолютно твёрдый или сжимаемый?

Да берите что угодно, только на сей раз с положительным давлением... Ну, скажем, политропу с показателем $n=3$.

[Утундрий]

Сочинил на днях модельную метрику. Вдруг кто всё-таки возрешать возжелает?

$$\[ \begin{gathered} ds^2 = f_1 \left( r \right)dt^2 - \frac{{dr^2 }} {{f_2 \left( r \right)}} - r^2 \left( {d\theta ^2 + \sin ^2 \theta \cdot d\varphi ^2 } \right) \hfill \\ f_1 \left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1} {4}\left( {3\sqrt {1 - a^2 } - \sqrt {1 - r^2 } } \right)^2 } & {0 \leqslant r \leqslant a} \\ {1 - \frac{{a^3 }} {r}} & {a < r < \infty } \\ \end{array} } \right. \hfill \\ f_2 \left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1 - r^2 } & {0 \leqslant r \leqslant a} \\ {1 - \frac{{a^3 }} {r}} & {a < r < \infty } \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \end{gathered} \] $$

эта материя имеет несколько искусственное уравнение состояние $T_0^0 = 3$, а распределение давления в ней следующее

$$\[ p = 3\frac{{\sqrt {1 - r^2 } - \sqrt {1 - a^2 } }} {{3\sqrt {1 - a^2 } - \sqrt {1 - r^2 } }} \] $$

Строго говоря, решение описывает что-то осмысленное только при $p_0 \ll 1$, но не будет большой беды, если рассмотреть его - пусть и чисто формально - вплоть до $a = {{\sqrt 5 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 5 } 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}$ или даже (закрыв кое на что глаза) аж до самого $a = {{2\sqrt 2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\sqrt 2 } 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}$. Но не далее, ибо бесконечное давление не есть гут.