Работа и длина пути

[Limit79]

Найти работу силы $F=3x \cdot i -y \cdot j$ при перемещении материальной точки вдоль кривой L: $y=-2 \sqrt{x}$ из точки $M(0;0)$ в точку $N(1;-2)$. Найти длину пути.

Мое решение:

$A = \int_{L}^{ } (F,ds) = \int_{L}^{ } (3xdx-ydy) = \int_{0}^{1} (3x-2) dx = - \frac{1}{2}$

$L = \int_{L}^{ } dl$

$y=-2 \sqrt{x}$
$y'=-\frac{1} {\sqrt{x}}$

$dl = \sqrt{1+ \frac{1}{x}} dx$

$L = \int_{L}^{ } dl = \int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{1}{x}} dx$

И вот на этом интеграле ступор...

-- 16.12.2012, 20:02 --

Собственно вопрос такой, это я где-то ошибся, и последний интеграл будет другим, или таки все верно, а интеграл вычисляется...

[ewert]

Здесь стандартно в качестве новой переменной берут весь корень.

[Limit79]

ewert
Если в качестве новой переменной принять весь корень, то нижний предел будет равен бесконечности.

-- 16.12.2012, 21:54 --

Так $ \int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{1}{x}} dx$ - несобственный интеграл, может ли в данном случае интеграл быть несобственным?

[ewert]

Limit79 в сообщении #659435 писал(а):

Если в качестве новой переменной принять весь корень, то нижний предел будет равен бесконечности.

Да и хрен с ним; ну хочется тому пределу быть бесконечным. Ваше дело маленькое -- этот интеграл с этим пределом честно посчитать.

Limit79 в сообщении #659435 писал(а):

может ли в данном случае интеграл быть несобственным?

А кто ему может это запретить?...

[Limit79]

ewert
То есть нижний предел будет $+\infty$, а верхний - $\sqrt{2}$, смущает то, что получается как-то задом-наперед.

[ewert]

Limit79 в сообщении #659544 писал(а):

смущает то, что получается как-то задом-наперед.

А не смущайтесь -- определённый интеграл имеет смысл независимо от "правильности" расстановки пределов. Тупо действуйте по шаблону, только старайтесь не путаться в знаках.

[Limit79]

ewert
Спасибо, попробую.

[Limit79]

ewert
Так и не получилось у меня с заменой, предложенной Вами.

Я попробовал вот так: $t=\sqrt{x}$, тогда интеграл будет вот такой: $2 \int_{0}^{1} \sqrt{t^2+1} dt$

[Dragon27]

Limit79
Подстановки Эйлера не знаете что ли?