Теория вероятностей,характеристические функции

[profrotter]

g______d, ничего-ничего, скоро придёт --mS-- и всем, кто тут дельта-фунциями размахивает организует раздачу слонов и материализацию духов!

Julia2012 в сообщении #658866 писал(а):

Получается,что функция не равномерно непрерывна

где это у вас такое получилось?

Запишите уже определение ХФ для приличия.

-- Сб дек 15, 2012 23:08:22 --

Julia2012 в сообщении #658866 писал(а):

чтобы первая производная была равна нулю,а вторая была отрицательной.

У вас разве не так получилось?

[g______d]

profrotter в сообщении #658862 писал(а):

Вот допустим мы, что заданная функция является ХФ некоторой случайной величины и рассмотрим сумму трёх таких независимых случайных величин. Тогда у них будет ХФ $\theta_3(t)=\cos^2(t)$. Остаётся ответить на вопрос является ли она ХФ.

Я бы тоже так сделал. Только вот $\cos^2 t$ как раз является характеристической функцией.

Но можно пойти дальше: понять, что за величина отвечает функции $\cos^2 t$ (это просто: надо разложить на экспоненты), а потом посмотреть, может ли она быть суммой трех независимых одинаково распределенных дискретных случайных величин. У меня получилось, что не может просто из подсчета количества возможных значений.

[--mS--]

Julia2012 в сообщении #658866 писал(а):

На этом форуме найдено,что,чтобы функция была характеристической нужно,чтобы первая производная была равна нулю,а вторая была отрицательной.Получается,что функция не равномерно непрерывна, а должна быть равномерно непрерывной,чтобы быть характеристической функцией?

Напишите, как производные характеристической функции в нуле выражаются через моменты распределения. Не на форуме найдите, а в учебнике. Сделайте вывод, глядя на вычисленные производные.

Не знаю, где Вы нашли, что нужно первой производной обращаться в нуль. Тем более не знаю, при чём тут равномерная непрерывность: теорему Кантора (- Гейне) знаете? Она тут вполне применима, для непрерывной периодической-то функции, и сразу гарантирует равномерную непрерывность.

-- Вс дек 16, 2012 12:46:06 --

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #658869 писал(а):

g______d, ничего-ничего, скоро придёт --mS-- и всем, кто тут дельта-фунциями размахивает организует раздачу слонов и материализацию духов!

Вы задали тривиальный вопрос, на него на понятном для Вас языке ответили, к чему этот выпендрёж? Могу ответить на непонятном языке: для периодической характеристической функции $f(t)$ найдётся $t_0\neq 0$ такое, что $f(t_0)=1=\mathsf E\cos(t_0\xi)+i\mathsf E\sin(t_0\xi)$. Отсюда $1=\mathsf E\cos(t_0\xi)$, а поскольку этот косинус почти наверное не больше единицы, по свойствам матожидания $\cos(t_0\xi)=1$ п.н., и $\mathsf P(t_0\xi\in \{\pi k, k\in\mathbb Z\})=1$.

В качестве упражнения полезно будет доказать ещё одно всем известное свойство х.ф.: если $|f(t_0)|=1$ в какой-то ненулевой точке $t_0$, то распределение решётчато, т.е. сосредоточено на множестве точек вида $a+kh$, $k\in \mathbb Z$, а потом привести пример такого распределения с непериодической х.ф.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #658989 писал(а):

Вы задали тривиальный вопрос, на него на понятном для Вас языке ответили, к чему этот выпендрёж?

Я задал тривиальный вопрос автору темы и вовсе не нуждался в ответе от сторонних лиц на языке понятном для меня и, явно, не понятном для автора темы. И нет тут никакого выпендрёжа, просто вспомнилась topic32231.html Прошу прощения - не думал вас обижать.

--mS-- в сообщении #658989 писал(а):

Не знаю, где Вы нашли, что нужно первой производной обращаться в нуль.

вот тут: сообщении #423460

[profrotter]

Julia2012, Пока заслужаенные участники будут учить меня, я мог бы помочь вам разобраться со свойствами ХФ исходя из её определения. Если вам интересно, конечно. И тогда мы поймём, на что намекает --mS--. В большинстве простых учебников свойства ХФ изложены применительно к непрерывным распределениям. Вы, кстати, каким учебником пользуетесь?

[Julia2012]

У меня есть два учебника. Гмурман,там буквально пару строчек про характеристическую функцию. И Вентцель,там получше,целый параграф. С объяснениями в институте туго, а задачи сдавать как-то надо. Спасибо,что помогаете мне.
Итак,характеристической функцией случайной величины $X$ называется функция $g(t) = M[e^{itX}]$
i -мнимая единица. Функция $g(t)$ представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины

$$U=e^{itX},$$

функционально связанной с величиной $X$.
Вижу 2 свойства:
1) Если случайные величины $X$ и $Y$ связаны соотношением $Y=aX$, где $a$ - неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением: $g_{y}(t)=g_{x}(at)$.
2)Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

[--mS--]

profrotter в сообщении #659003 писал(а):

Я задал тривиальный вопрос автору темы и вовсе не нуждался в ответе от сторонних лиц на языке понятном для меня и, явно, не понятном для автора темы.

Нет, из Вашего вопроса никак нельзя понять, что это вопрос для ТС. Тем более, что задавать этот вопрос ТС абсолютно ни к чему.

Julia2012 следует открыть тот учебник, что ей рекомендован, и в котором есть соответствующий материал, а не Вентцель и тем более не Гмурмана. Найти свойства, о которых шла речь (не буду повторяться) и воспользоваться. Всё. Не буду мешать. Всегда интересно наблюдать со стороны, как сапожник учит пироги печь.

[profrotter]

А теперь рассмотрим дискретную случайную величину $X$, которая принимает значения $x_0,x_1,...,x_{N-1}$ с вероятностями $P_0,P_1,...,P_{N-1}$. И прямо по определению найдём характеристическую функцию (тут, если не очевидно, посмотрите формулу для мат. ожидания функции случайной величины):

$$\theta(t)=M\{e^{iXt}\}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_ne^{ix_nt}.$$

Если $N$ устремить к бесконечности, то получим в общем случае ряд Фурье в комплексной форме, причём последоваетельность коэффициентов ряда (а они же вероятности из закона распределения случайной величины ) абсолютно-суммируема $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}P_n=1$ и ограничена $0\leq P_n\leq 1$. Отсюда видно, что периодическая ХФ соответствует дискретной случайной величине. Это верно и при конечном и при бесконечном $N$.

В конкретно решаемой задаче ХФ не только периодическая, но и действительная, а это означает, что от неё можно взять действительную часть и от этого ничего не изменится:

$$\theta(t)=\operatorname{Re}\theta(t)=\operatorname{Re}\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_ne^{ix_nt}=...$$

Теперь ваша очередь. Надо как то взять действительную часть и посмотреть что получится.

-- Вс дек 16, 2012 15:52:02 --

--mS-- в сообщении #659170 писал(а):

Всегда интересно наблюдать со стороны, как сапожник учит пироги печь.

Благодарствую за очередную характеристику моей тёмной личности.

[Julia2012]

Вот, что я нашла:

$\sum\limits_{-\infty}^{+\infty} p_{n}e^{ix_{n}t}$

$p_{n} = \frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l}f(x)e^{-ix_{n}t}dx.$
$p_{n} = \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}$

$c_{0} = \frac{a_{0}}{2}.$

$a_{n} = 2Rec_{n}.$

$b_{n} = 2Imc_{n}.$

$a_{0} = 2c_{0}$.

$w = \frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l}f(x)e^{-ix_{n}t}$

Не очень понимаю,что должно быть вместо пределов -$l$, $l$. Вроде же должен быть симметричный промежуток...ну наверное. Теперь нужно посчитать интеграл?
Наверное,я сделала что-то не так.

[profrotter]

Никаких интегралов! Всего лишь продолжить написанное мною выражение. Вот я рассуждаю так: поскольку при сложении комплексных чисел их действительные части складываются, то знак действительной части можно перенести за знак суммы:

$$\theta(t)=\operatorname{Re}\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_ne^{ix_nt}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_n\operatorname{Re}e^{ix_nt}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_n\cos(x_nt)$$

Вот мы получили, что действительная периодическая ХФ должна иметь вот такую структуру:

$$\theta(t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_n\cos(x_nt)$$

Теперь мы легко можем увидеть, чему будет равно значение ХФ в нуле и взять четыре первые производные и посмотреть на них. Предлагаю вам эти производные взять, а мы будем на них смотреть.

[Julia2012]

Первая производная

$$\frac{d}{dx}(\|cost|^{\frac23}) = -\frac{2}{3}\sqrt[3]{cost^{2}}tgt$$

Вторая производная

$$\frac{d^2}{dx^2}(\|cost|^{\frac{2}{3}}) = -\frac{2(cos2t+2)}{9\sqrt[3]{cost^{4}}}$$

Третья производная

$$\frac{d^3}{dx^3}(|cost|^{\frac{2}{3}}) = -\frac{8sint^{3}}{27\sqrt[3]{cost^{7}}}$$

Четвертая производная

$$\frac{d^4}{dx^3}(|cost|^\frac{2}{3}) = -\frac{8sint^2(cos(2t)+8)}{81\sqrt[3]{cost^{10}}}$$

[g______d]

Мат. ожиданием какой случайной величины является четвертая производная характеристической функции в нуле?

Если случайная величина неотрицательна и ее мат. ожидание равно нулю, то что можно сказать про эту величину?

[--mS--]

(Оффтоп)

Не, бесполезно, я уже трижды это спрашивала. Тут гуру ведёт обучение, не будем мешать

[zhoraster]

Julia2012 в сообщении #658866 писал(а):

чтобы функция была характеристической нужно,чтобы первая производная была равна нулю,а вторая была отрицательной

Во-первых, где найдено? Во-вторых, что значит "нужно"? Необходимо? Достаточно? В-третьих, это неверно.

[profrotter]

Ну вот, опять я должен продолжать за вас. Мы получили, что действительная периодическая ХФ представляется в виде:

$$\theta(t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_n\cos(x_nt)$$

Сразу видим, что действительная периодическая ХФ является чётно-симметричной. Рассморим значение такой ХФ в нуле:

$$\theta(0)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_n=1$$

Найдём производную такой ХФ:

$$\theta'(t)=-\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n\sin(x_nt)$$

Рассмотрим значение производной ХФ в нуле:

$$\theta'(0)=-\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n\sin(0)=0$$

Первая производная периодической действительной ХФ в нуле равна нулю.

Теперь ваша очередь аналогично найти $\theta''(t),\theta'''(t),\theta''''(t)$ и сделать выводы.