Асимптотическое равенство

[antropod]

Здравствуйте.
Подскажите, как решать эту задачку

Подобрать коэффициенты $A$ и $B$ так, чтобы при $x\to 0$ было справедливо асимптотическое равенство
$\arctg(x) = {{x + Ax^3}\over{1 + Bx^2}} + O(x^7)$

[ewert]

Разложить единицу на знаменатель в сумму геометрической прогрессии и потребовать, чтобы коэффициенты при третьей и пятой степенях были правильными.

[mihailm]

можно уголком дробь поделить, до пятой степени

[antropod]

А можно поподробнее?

[ИСН]

Ряд Тейлора для арктангенса приведите, да?

[antropod]

Я привел дробь к такому виду
${{x+Ax^3}\over{1+Bx^2}} = {Ax \over B} + {{(B - A)x} \over {B(1+Bx^2)}}$

Разложение в ряд Тейлора для $\arctg(x)$
$\arctg(x) = x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} + ...$

[ИСН]

Не надо приводить дробь к такому виду. Он бесполезен чуть более, чем полностью.
Теперь, пожалуйста, ряд Тейлора для $1\over 1+Bx^2$ примерно с той же точностью.

[antropod]

Раскладываю в ряд Тейлора
${1 \over {1 + Bx^2}} = 1 - Bx^2 + B^2 x^4 - B^3 x^6 +...$

...начинает доходить до меня...

Умножаю на $x + Ax^3$
Получаю
$x + Ax^3 - Bx^3 - A B x^5 + B^2 x^5 + ...$

Составляю систему
$\begin{cases} A - B &= -{1 \over 3}\\ B(B-A)&={1 \over 5} \end{cases} $

Решаю.
$\begin{cases} A &= {4 \over 15}\\ B &= {3 \over 5} \end{cases} $

Всё верно?

[ИСН]

Отож!

[antropod]

Спасибо большое!