Ряды

[masterflomaster]

Правильно ли я решил?

Исследовать на абсолютную, условную сходимость ряд

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{3 - 7n}{5n^{2} + n - 3}\cdot\sin(\frac{3n}{5})$.

{\bf Решение.}
Воспользуемся признаком Дирихле:

1)$|\sum_{n = 1}^{\infty}\sin(\frac{3n}{5})| \leq 1 $ при любом $n$.

2)$a_{n} = \frac{3 - 7n}{5n^{2} + n - 3}$

a)$a_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow 0$.

б)Докажем монотонность:

Пусть $f = \frac{3 - 7x}{5x^{2} + x -3}$

Тогда $f' = \frac{-7(5x^{2} + x - 3) - (3 - 7x)(10x + 1)}{{(5x^{2} + x -3)}^{2}} = \frac{35x^{2} - 30x +18}{{(5x^{2} + x -3)}^{2}} < 0$ при любых x $\Rightarrow$ по признаку Дирихле наш ряд сходится.

Рассмотрим абсолютную сходимость:

$a_{n} = |\frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}|\cdot|\sin(\frac{3n}{5})| \geq \frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}\cdot{\sin}^{2}(\frac{3n}{5}).$

${\sin}^{2}(\frac{3n}{5})$ расходится, следовательно ряд расходится, значит абсолютной и условной сходимости нет.

[ИСН]

Брать производную и делать её оценки, хотя бы даже и правильные, здесь ни к чему.
Первая половинка ответа указана два раза по-разному. Не знаю, чему верить.
Вторая половинка верная, но вышло это случайно.

[masterflomaster]

Я не очень понял. Т.е. у меня ошибка при рассмотрении абсолютной сходимости? Я там выполнил неверные преобразования?

[ИСН]

Возьмите для примера такой ряд: $\sum{\sin n\over n^2}$. Как у него дела с абсолютной сходимостью?

[masterflomaster]

ИСН в сообщении #659084 писал(а):

Возьмите для примера такой ряд: $\sum{\sin n\over n^2}$. Как у него дела с абсолютной сходимостью?

$|a_{n}| = \frac{1}{n^{2}}\cdot|\sin(n)| \geq \frac{1}{n^{2}}\cdot\sin^{2}(n) = \frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1 - cos2n}{2} = \frac{1}{2n^{2}} - \frac{cos2n}{2n^{2}}$

Первый ряд расходится, следовательно их сумма(в данном случае разность) расходится.

[ИСН]

Ну а такой: $\sum{\sin n\over n^4}$?

[masterflomaster]

Тоже расходится. Доказывается так же, как я написал выше, но для 4-ой степени. Я все верно понял?

Теперь мне записать тоже самое для своего выражения?

[ИСН]

Ну а такой: $\sum{\sin n\over 2^n}$?

[masterflomaster]

А этот сойдется:

$|a_{n}| = \frac{1}{2^{n}}\cdot|\sin(n)| \geq \frac{1}{2^{n}}\cdot\sin^{2}(n) = \frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{1 - cos2n}{2} = \frac{1}{2\cdot2^{n}} - \frac{cos2n}{2\cdot2^{n}}$

Первый и второй ряд сходятся, их сумма сходится.

Значит:

$|a_{n}| = \frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}\cdot|\sin(\frac{3n}{5})| \geq \frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}\cdot{\sin}^{2}(\frac{3n}{5}) = \frac{3 - 7n}{10n^{2} + 2n - 6} - \frac{cos\frac{6}{5}n}{2}\cdot\frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}$

Первый и второй ряд сходятся, их сумма сходится, следовательно наблюдается абсолютная сходимость.

Я все верно понял?

[ewert]

masterflomaster в сообщении #659140 писал(а):

Я все верно понял?

Почти, только тут по рассеянности потеряна частица или приставка "не": правильно или "всё неверно понял", или "всё верно не понял". Оценка членов ряда снизу может доказывать лишь расходимость ряда, но никак не сходимость. Подучите всё-таки признаки сравнения.

[masterflomaster]

Я понял, что совершил очень глупую ошибку (делал все как для случая, когда из расходимости меньшего следует расходимость большего, а выводы делал как для случая, когда из сходимости большего, следует сходимость меньшего.
Я понимаю, что $\frac{3 - 7n}{5n^{2} + n -3}$ сходится, а $\sin(\frac{3n}{5})$ расходится, но не могу сообразить, какие нужно сделать преобразования, для внесения ясности в вопрос об абсолютной сходимости.

[ИСН]

Всё-таки разберитесь с этими: $\sum{1\over n},\,\sum{1\over n^2},\,\sum{1\over n^4}$... Кто из них не сходится, а кто да?

[masterflomaster]

ИСН в сообщении #659218 писал(а):

Всё-таки разберитесь с этими: $\sum{1\over n},\,\sum{1\over n^2},\,\sum{1\over n^4}$... Кто из них не сходится, а кто да?

$\sum{1\over n}$ - разойдется.
$\sum{1\over n^2}$ - сойдется.
$\sum{1\over n^4}$ - сойдется.
Все остальные типа $\sum{1\over n^k}$ сойдутся (при $k=1, 2, 3, 4..$)

[ИСН]

Теперь возвращаемся к этим: $\sum{\sin n\over n},\,\sum{\sin n\over n^2},\,\sum{\sin n\over n^4}$...

[masterflomaster]

Эти сойдутся все.