Неполное дифференциальное уравнение

[patrickj]

Здравствуйте.
Имеется диффур: $y' = - (y - 1)^{\frac 1 5}$
Ставиться задача Коши с начальными данными $(x,y) = (0,2)$
Решаю его так:
$\frac {dx} {dy} = - \frac {1}{(y-1)^{\frac 1 5}}$
Нахожу общий интеграл:
$x = -\frac 5 4 \cdot (y-1)^{\frac 4 5} + C$
Чтобы решить задачу Коши, надо найти общее решение, то есть разрешить наш общий интеграл относительно $y$.
Вот с этим и возникают проблемы .
Разрешив относительно $y$, получил такое выражение:
$y = |{-\frac 4 5 \cdot (x - C)}|^{\frac 5 4} + 1$
Правильно ли я нашел $y$? Не уверен, что там нужен модуль.
Решая, задачу Коши для такого решения, я нахожу, что константа $C = \pm\frac 5 4$.
Что делать, если константа имеет 2 значения?

[Someone]

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Нахожу общий интеграл:
$x = -\frac 5 4 \cdot (y-1)^{\frac 4 5} + C$
Чтобы решить задачу Коши, надо найти общее решение, то есть разрешить наш общий интеграл относительно $y$.

Не надо. Подставляйте начальные значения прямо в это выражение.

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Разрешив относительно $y$, получил такое выражение:
$y = |{-\frac 4 5 \cdot (x - C)}|^{\frac 5 4} + 1$
Правильно ли я нашел $y$? Не уверен, что там нужен модуль.

Откуда бы ему там взяться?

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Решая, задачу Коши для такого решения, я нахожу, что константа $C = \pm\frac 5 4$.
Что делать, если константа имеет 2 значения?

Вообще говоря, константа $C$ не обязана быть единственной (при этом все значения константы могут давать одно и то же решение), но в данном случае одна действительно негодная и появилась из-за неизвестно откуда взявшегося модуля.

[Pphantom]

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Чтобы решить задачу Коши, надо найти общее решение, то есть разрешить наш общий интеграл относительно $y$.
Вот с этим и возникают проблемы

А зачем? Что изменится, если Вы моменяете местами $x$ и $y$? Подставьте сразу же в выражение $x=x(y)$ начальные условия и определите константу. Получившееся уже будет решением задачи Коши.

[patrickj]

Отлично.
Решая это задание на контрольной работе, я тоже подставлял в общий интеграл и нашел единственную $C = \frac 5 4$
Там надо было ещё нарисовать это решение.
Я нарисовал прямую $y = 1$ - это особое решение.
Решения будут параболы, ветви которых направлены влево, с осью симметрии $y = 1$ и вершины которых будут лежать на это прямой? Ведь так? Выделил одну из парабол, проходящую через точку $(0,2)$, однако преподаватель говорит, что решение неверно.

[ИСН]

Сдаётся мне, всё-таки решение - это y(x).

-- Вс, 2012-12-16, 14:26 --

то есть в Ваших терминах - половинка параболы.

[patrickj]

ИСН в сообщении #659121 писал(а):

Сдаётся мне, всё-таки решение - это y(x).

-- Вс, 2012-12-16, 14:26 --

то есть в Ваших терминах - половинка параболы.

Это потому, что одному $x$ соответствует 2 значения $y$ ?
А как узнать, какую половину выбрать?

[ИСН]

Да. Что значит какую. Одна - решение, и другая - решение. Какая проходит через начальные условия, ту и выбрать. Да Вы выбрали уже.

[patrickj]

ИСН в сообщении #659130 писал(а):

Да. Что значит какую. Одна - решение, и другая - решение. Какая проходит через начальные условия, ту и выбрать. Да Вы выбрали уже.

Я совсем запутался. У нас же одна парабола проходит через точку $(0,2)$, которой соответствует $C = \frac 5 4$. Я её и нарисовал, преподаватель говорит, что неправильно. Почему неправильно?

-- 16.12.2012, 15:31 --

Прошу прощения за плохой чертеж.
Вот такое я решение изобразил.
Скажите, пожалуйста, почему неправильно? Я не понял, а завтра сдавать .

[Someone]

Конечно, неправильно. Посмотрите на уравнение: если $y=1$, то $y'=$ чему? Как расположена касательная к решению в этой точке? И как она расположена на Вашем рисунке? И, кстати, что это за парабола?

[Limit79]

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Чтобы решить задачу Коши, надо найти общее решение, то есть разрешить наш общий интеграл относительно $y$.

Зачем?

[patrickj]

Someone в сообщении #659197 писал(а):

Конечно, неправильно. Посмотрите на уравнение: если $y=1$, то $y'=$ чему? Как расположена касательная к решению в этой точке? И как она расположена на Вашем рисунке? И, кстати, что это за парабола?

$y' = 0$
Значит касательная должна быть параллельна оси абсцисс.

Вот так решения будут идти?


-- 16.12.2012, 17:24 --

Limit79 в сообщении #659208 писал(а):

patrickj в сообщении #659071 писал(а):

Чтобы решить задачу Коши, надо найти общее решение, то есть разрешить наш общий интеграл относительно $y$.

Зачем?

Уже разрешили эту проблему. Действительно, константу можно искать и из общего интеграла.

[ИСН]

Откуда 0.

-- Вс, 2012-12-16, 17:46 --

(это был вопрос)

[patrickj]

ИСН в сообщении #659242 писал(а):

Откуда 0.

-- Вс, 2012-12-16, 17:46 --

(это был вопрос)

Ну если в исходное уравнение $y' = - (y-1)^{\frac 1 5}$ подставим $y = 1$, то получим $y' = 0$.

[Someone]

patrickj в сообщении #659222 писал(а):

Вот так решения будут идти?

Примерно так. Точнее это выглядит так:

Каждая ветвь параболы изображает решение.

[patrickj]

Цитата:

Каждая ветвь параболы изображает решение.

Спасибо всем!
И в качестве ответа берем только верхнюю часть?