Ряды

[masterflomaster]

Правильно ли я решил?

Найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{(x + 6)}^{n}$ на границе промежутка сходимости ряда.

{\bf Решение.}
1) Ищем радиус по признаку Даламбера:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|C_{n+1}|}{|C_{n}|} \rightarrow$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{{|-1|}^{n + 1}\cdot{|x + 6|}^{n + 1}|\cdot3n + 1|3^{n}}{{|-1|}^{n}\cdot{|x + 6|}^{n}\cdot|3(n + 1) + 1|\cdot3^{n + 1}} \rightarrow$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|x + 6|}{3} \rightarrow \frac{|x + 6|}{3}$

$\frac{|x + 6|}{3} < 1 \Leftrightarrow |x + 6| < 3;$ сходится абсолютно.

$\frac{|x + 6|}{3} > 1 \Leftrightarrow |x + 6| > 3;$ расходится.

Радиус $R = 3$.

2) $|x + 6| = 3$.

a)$x + 6 = 3$

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{3}^{n}$

$\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{3}^{n} = \frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)} \sim \frac{{(-1)}^{n}}{(3n)}$

Следовательно ряд расходится.

б)$x + 6 = 3$

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{-3}^{n}$

$\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{-3}^{n} = \frac{{(-1)}^{n}{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{3}^{n} = \frac{1}{(3n + 1)} \sim \frac{1}{3n}$

Следовательно ряд расходится.

3) Радиус сходимости:

$-3 < x + 6 < 3$

$-9 < x < -3$

$x \epsilon (-9, -3)$

[zhoraster]

masterflomaster в сообщении #659001 писал(а):

$\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{3}^{n} = \frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)} \sim \frac{{(-1)}^{n}}{(3n)}$

Следовательно ряд расходится.

Неверно. Во-первых, ряд, с которым Вы "сравниваете", сходится, во-вторых, признаки сравнения имеют место лишь для знакопостоянных рядов.

[masterflomaster]

zhoraster в сообщении #659014 писал(а):

masterflomaster в сообщении #659001 писал(а):

$\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)3^{n}}\cdot{3}^{n} = \frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)} \sim \frac{{(-1)}^{n}}{(3n)}$

Следовательно ряд расходится.

Неверно. Во-первых, ряд, с которым Вы "сравниваете", сходится, во-вторых, признаки сравнения имеют место лишь для знакопостоянных рядов.

Переделал:
$\frac{{(-1)}^{n}}{(3n + 1)}$. Воспользуемся признаком Лейбница:
$\frac{1}{(3n + 1)} \rightarrow 0 $ при $n \rightarrow \infty$, следовательно ряд сходится.

[ИСН]

Там, помнится, требовалось не просто стремление к нулю.

[masterflomaster]

ИСН в сообщении #659090 писал(а):

Там, помнится, требовалось не просто стремление к нулю.

еще требовалось $\frac{1}{(3n + 1)} \geq 0$ при любых n и члены ряда должны монотонно убывать (условия выполняются).

[ИСН]

Конечно, выполняются. Просто не забывайте слово "монотонно".

[masterflomaster]

Большое спасибо)