Доказать неравенство

[Keter]

$$\bigg( \dfrac{a_1+...+a_n}{b_1+...+b_n} \bigg)^{b_1 ... b_n} \ge \bigg( \dfrac{a_1}{b_1} \bigg)^{b_1} ... \bigg( \dfrac{a_n}{b_n} \bigg)^{b_n}, a_j, b_j \in \mathbb{R}^{+}$$

Может как-нибудь неравенство Йенсена использовать.

[SpBTimes]

Известно неравенство:
$a_1^{q_1}a_2^{q_2}...a_n^{q_n} \leqslant q_1a_1+ q_2a_2 + ... + q_na_n$
где все входящее положительно, и, кроме того, $\sum_i q_i = 1$
Но тогда, положив для произвольных $b_i > 0$ значение $q_i = \frac{b_i}{\sum_i b_i}$ получим ваше неравенство

[Keter]

SpBTimes, что такое $\sum_i q_i=1 ?$

[SpBTimes]

Сумма всех $q$ равна единице

[Keter]

SpBTimes, это понятно, просто какую смысловую нагрузку в себе несет $i$ в записи $\sum_i ...$ ?

-- 16.12.2012, 21:49 --

$q_1 = ???$

[SpBTimes]

Индекс суммирования

[Keter]

$\bigg( a_1^{b_1} ... a_n^{b_n} \bigg)^{\dfrac{1}{\sum_i b_i}} \le \dfrac{b_1 a_1 + ... + b_n a_n}{\sum_i b_i}$

Ну вот как из этого следует моё неравенство? Даже если положить $a=\dfrac{a_i}{b_i}$, то

$\bigg( \dfrac{a_1}{b_1} \bigg)^{b_1} ... \bigg( \dfrac{a_n}{b_n} \bigg)^{b_n} \le \bigg( \dfrac{a_1 + ... + a_n}{b_1+...+b_n} \bigg)^{\sum_i b_i}$