Теория вероятностей,характеристические функции

[Julia2012]

Помогите пожалуйста решить задачу.

Является ли функция $e^{2(it-1)}$ характеристической функцией какого-нибудь распределения?

Используем обратное преобразование Фурье:

$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-itx}g(t)dt$$

Подставляем функцию:
$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-itx}e^{2(it-1)}dt = \frac{1}{2\pi} \int e^{-itx+2it-2}dt = \frac{1}{2\pi} \int e^{-it(x-2)-2}dt = \frac{1}{2e^{2}\pi} \int e^{-it(x-2)}dt$

Не вычисляется интеграл. Значит ли это, что эта функция не является характеристической функцией никакого распределения?Если нет,подскажите пожалуйста,что я делаю не так.

[profrotter]

А чему равна ваша ХФ в нуле?

[мат-ламер]

profrotter в сообщении #658646 писал(а):

Не вычисляется интеграл.

Надо уточнить слово "не вычисляется". Возможны варианты - 1) Я не могу вычислить. 2) Компьютер не может вычислить. 3) Интеграл не берётся в элементарных функциях. 4) Функция не интегрируема.

[Julia2012]

Интеграл не могу вычислить я, и не может вычислить компьютер.

-- 15.12.2012, 12:27 --

При $t=0$ характеристическая функция равна $e^{-2}$

[profrotter]

Julia2012 в сообщении #658672 писал(а):

При $t=0$ характеристическая функция равна $e^{-2}$

А чему должна быть равна?

[Julia2012]

Прочитала,что должна быть равна 1. Это условие нормировки. Это означает,что функция не является характеристической ни для какого распределения?

[profrotter]

Думаю да.

[Julia2012]

Большое спасибо!
А вот если дана функция $|cost|^{\frac23}$, то функция удовлетворяет условию нормировки, скажите пожалуйста, как исследовать дальше? Подставлять в обратное преобразование?

[profrotter]

Тут сильно заколдовано. Надо крепче думать. Интересно, какой случайной величине соотвествует периодическая характеристическая функция?

[--mS--]

Julia2012 в сообщении #658640 писал(а):

Является ли функция $e^{2(it-1)}$ характеристической функцией какого-нибудь распределения?

Вы уверены, что правильно записали функцию? Например, что речь идёт не о $e^{2(e^{it}-1)}$?

С косинусом - скажем, можно выписать первых штуки четыре производных в нуле и посмотреть на них.

[Julia2012]

$e^{2(it-1)}$ совершенно точно записано правильно, думаю, преподаватель специально дала одну простую,а другую сложную функции.
Для косинуса я посчитала производные:
Первая производная

$$\frac{d}{dx}(|cost|^{\frac23}) = -\frac{2}{3}\sqrt[3]{cost^{2}}tgt$$

в нуле равна нулю.

Вторая производная

$$\frac{d^2}{dx^2}(|cost|^{\frac{2}{3}}) = -\frac{2(cos2t+2)}{9\sqrt[3]{cost^{4}}}$$

в нуле равна -$\frac23$.


Третья производная

$$\frac{d^3}{dx^3}(|cost|^{\frac{2}{3}}) = -\frac{8sint^{3}}{27\sqrt[3]{cost^{7}}}$$

В нуле равна нулю.

Четверная производная

$$\frac{d^4}{dx^3}(|cost|^\frac{2}{3}) = -\frac{8sint^2(cos(2t)+8)}{81\sqrt[3]{cost^{10}}}$$

В нуле равна нулю.

-- 15.12.2012, 21:35 --

Про то, какой случайной величине соотвествует периодическая характеристическая функция,ничего, к сожалению,пока не нашла(.

[--mS--]

Ну и как, выводы можете сделать из производных?

[profrotter]

Тогда просто пишите, что такое характеристическая функция.

Вот допустим мы, что заданная функция является ХФ некоторой случайной величины и рассмотрим сумму трёх таких независимых случайных величин. Тогда у них будет ХФ $\theta_3(t)=\cos^2(t)$. Остаётся ответить на вопрос является ли она ХФ. --mS-- или так нельзя?

[g______d]

profrotter в сообщении #658834 писал(а):

Тут сильно заколдовано. Надо крепче думать. Интересно, какой случайной величине соотвествует периодическая характеристическая функция?

Если период характеристической функции равен $T$, то носитель соответствующей вероятностной меры --- множество $\left\{\frac{2\pi n}{T},\,\,n\in\mathbb Z\right\}$. Т. е. вероятностная мера имеет вид $\sum_n p_n \delta(x-2\pi n/T)$, где $p_n\ge 0$, $\sum_n p_n=1$. Ну и соответствующая случайная величина дискретна и принимает значения $2\pi n/T$ с вероятностями $p_n$.

$p_n$ будут коэффициентами Фурье характеристической функции.

[Julia2012]

На этом форуме найдено,что,чтобы функция была характеристической нужно,чтобы первая производная была равна нулю,а вторая была отрицательной.Получается,что функция не равномерно непрерывна, а должна быть равномерно непрерывной,чтобы быть характеристической функцией?