Диф уравнения...логика в понимании решений

[Jabbar Bayramov]

Вопрос по дифференциальным уравнениям

Почему все решения диф. уравнения первого порядка покрываются одной функцией а для второго порядка суммой двух функций?
Any obvious logic behind that?

Thanks.
J

[ИСН]

Возьмём диффур первого порядка $y'=1$. Его решение - $y=x+C$.
Возьмём диффур второго порядка $y''=0$. Его решение - $y=C_1x+C_2$.
Теперь Вы говорите: первое - это одна функция, а второе - сумма двух функций.
Да ну?

[Jabbar Bayramov]

Выходит что и для первого и второго порядка все решения покрываются суммой двух функций. А почему двумя а не тремя?

Спасибо за ответ.

[CptPwnage]

По теореме существования и единственности, для линейных уравнений пространство решений изоморфно пространству начальных условий (пространство решений линейно из линейности уравнения), то есть для уравнений 1го порядка одномерно, второго двумерно и тд.

[ИСН]

Что такое "сумма двух функций" и чем она отличается от просто функции?

[Jabbar Bayramov]

Каждый из этих функций являются решением

-- Сб дек 15, 2012 16:50:19 --

Каждый из этих функций являются решением

[ИСН]

Не понял. Каких функций? Решением чего?

[Someone]

А если взять уравнение $y''=1$, то решением будет $y=\frac{x^2}2+C_1x+C_2$.
А решением уравнения $y''+y'-2y=8x^5$ будет $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}-4x^5-10x^4-60x^3-150x^2-330x-315$.

[Утундрий]

Jabbar Bayramov в сообщении #658645 писал(а):

все решения диф. уравнения первого порядка покрываются одной функцией а для второго порядка суммой двух функций

Потерялось "линейных".

[Jabbar Bayramov]

Уравнение вида $y' + ay = 0 и y'' + ay' + by =0$
В первом случае одна функция плюс постоянная $y= f(x) + C$, во втором случае сумма двух функций $y = C_1 f_1+C_2 f_2$
Я искал простое объяснение

[ИСН]

Проверим этот тезис.
Уравнение: $y'+y=0$
Какое будет общее решение? Действительно ли $f(x) + C$? Какая f?

[Jabbar Bayramov]

$Ce^{-x}$

[arseniiv]

$Cf(x) \not\equiv f(x) + C$.

Jabbar Bayramov в сообщении #659455 писал(а):

Я искал простое объяснение

Есть теорема о том, что такие уравнения имеют такие решения. В её доказательстве как раз объясняется, откуда, как, почему.

(По секрету.)

Ну вроде бы. У меня до него руки всё как-то не дойдут.

[Jabbar Bayramov]

Arseniiv, а интернет ресурс знаете?

[ИСН]

Jabbar Bayramov, Вы хотите непонятного. "Назад нельзя - ножной тормоз." Ресурс. Какой ресурс. Где будет доказан факт. Какой факт. Какой? Что решение любого диффура первого порядка имеет вид $y= f(x) + C$? Но это же не так.
arseniiv и CptPwnage, вы хотите преобразовать непонятное в понятное. Суёте человеку теорему существования и единственности. А ведь из его слов пока никак не следует, что нужна именно она. Может, нужна теорема завывания и таинственности. Может, ещё какая-нибудь.