Общий интеграл дифф. уравнения в ур. Бернулли

[Limit79]

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения: $2(y'+y)=xy^2$

Мое решение:

$y'+y=\frac{xy^2}{2}$

Но это же уравнение Бернулли, в котором ответ получается в явном виде.

В данном случае будет: $y= \left ( \frac{2e^x}{x^2+2x+2} +C \right) \cdot \frac{1}{e^x}$

В связи с этим вопрос: я что-то делаю не так, и ответ действительно будет только в виде общего интеграла, или надо просто привести данный ответ в виде явной функции к виду $f(x,y)=C$ ?

Спасибо.

-- 15.12.2012, 20:06 --

Мое решение по-подробней:

$y' + y = \frac{xy^2}{2}$

$y=uv$

$u'v+v'u + uv = \frac{x(uv)^2}{2}$

$u'v+u(v'+v) = \frac{x(uv)^2}{2}$

$v'+v=0, v=\frac{1}{e^x}$

$u'e^{-x} = \frac{xu^2 e^{-2x}}{2}$

$u' = \frac{xu^2 e^{-x}}{2}$

$\frac{du}{u^2} = \frac{x e^{-x}}{2} dx$

$-\frac{1}{u} = -\frac{x^2}{2} e^{-x} - x e^{-x} - e^{-x} + C$

$u = \frac{2e^x}{x^2+2x+2} + C$

[ИСН]

Решения не читал. В Вашем ответе фигурирует слагаемое $Ce^{-x}$. Подставим ответ в уравнение. Общий вид даже проверять не будем. Тупо немножко меняем C. Левая часть меняется? НЕТ. А правая?

[Limit79]

ИСН
Это наверное из-за того, что несколько неправильно выразил $u$.

На самом деле будет: $u = \frac{2e^x}{x^2+2x+2-Ce^x}$

И $y= uv = \frac{2e^x}{x^2+2x+2-Ce^x} \cdot \frac{1}{e^x}$

-- 15.12.2012, 20:42 --

Спасибо за поправку, с этим вроде как разобрался, но главный вопрос, насчет общего интеграла vs уравнения Бернулли остается открытым

[ИСН]

Ну. (Надеюсь, Вы его подставили и проверили.) Теперь что мешает выразить этот, как его там...

[Limit79]

ИСН
Честно говоря не подставлял и не проверял, но, разумеется сделаю, и таки найду правильную $y=...$ . То есть просто из этой явной функции надо выразить константу?

-- 15.12.2012, 20:46 --

По логике-то именно так и надо сделать, вопрос был к тому, может я где-то кардинально ошибся, и ответа в явном виде не будет.

-- 15.12.2012, 21:05 --

Рано я сказал насчет того, что смогу найти $y=...$

$- \frac{1}{u} = -\frac{x^2}{2}e^{-x} - xe^{-x} - e^{-x} + C$

$- \frac{1}{u} = e^{-x} (-\frac{x^2}{2} - x - 1 + Ce^{x})$

$ \frac{1}{u} = e^{-x} (\frac{x^2}{2} + x + 1 - Ce^{x})$

$ \frac{1}{u} = \frac{e^{-x}}{2} (x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x})$

$ \frac{1}{u} = \frac{e^{-x} (x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x})}{2} $

$ u = \frac{2}{e^{-x} (x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x})} $

$ u = \frac{2e^x}{x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x}} $

$y=uv = \frac{2e^x}{x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x}} \cdot \frac{1}{e^x} = \frac{2}{x^2 + 2x + 2 - 2Ce^{x}} $

-- 15.12.2012, 21:06 --

Вот вроде так, но ответ не подходит...

[Limit79]

С искомой функцией разобрался, остался простой, но давно интересующий меня вопрос:

У нас есть: $-u=x+1+Ce^x$

Домножаем на минус, и будет вот так:

$u=-x-1-Ce^x$

или вот так:

$u=-x-1+Ce^x$

?

-- 15.12.2012, 21:49 --

По идее второй вариант, так как там константа, а она же может быть как положительной, так и отрицательной.