Тензоры

[apriv]

Я вроде бы все детально написал. Можно сказать и так: Вы отождествили $V\otimes V^{-1}$ с $End(V)$ и записали элементы этого пространства как матрицы. Если Вы запишете тензоры в базисе явно как суммы тензорят вида $e_i\otimes f_i$, вы увидите это транспонирование.

[fancier]

apriv в сообщении #658322 писал(а):

Я вроде бы все детально написал. Можно сказать и так: Вы отождествили $V\otimes V^{-1}$ с $End(V)$ и записали элементы этого пространства как матрицы. Если Вы запишете тензоры в базисе явно как суммы тензорят вида $e_i\otimes f_i$, вы увидите это транспонирование.

Хорошо, $V^*\otimes V$ отождествил с $End(V)$. Разложил оператор $T$ по базису $f^i\otimes e_j$: $T=\sum_{i,j}t_i^jf^i\otimes e_j.$ Транспонирование не вижу. Что делать дальше?

[apriv]

Не знаю, для меня координатная запись слишком сложна, чтобы разбираться в ней. В чем концептуальная причина появления транспонирования, я уже сообщил: если фиксировать базис в $V$, то удобно фиксировать двойственный базис в $V^*$; проблема только в том, что если $V$ — правое векторное пространство, то $V^*$ естественно снабжается структурой левого векторного пространства, что нас не очень радует; чтобы сделать его правым, нужно транспонирование.

[g______d]

fancier в сообщении #658240 писал(а):

apriv в сообщении #658173 писал(а):

Да вот хотя бы в книжке Кострикина и Манина это гораздо человечнее изложено, хотя она и не новая далеко.

Книга хорошая, но не слишком подходящая для начинающего, имхо. К тому же там похоже ошибка: в п. 4 $\S$4 главы 4 неправильно записан закон преобразования компонент тензора при замене базиса: вместо матрицы $B=(A^t)^{-1}$ должна быть просто обратная матрица $A^{-1}.$

Я тоже плохо понимаю, где ошибка. Как можно обойтись без транспонирования, если мы переходим в двойственное пространство?

[fancier]

apriv в сообщении #658350 писал(а):

Не знаю, для меня координатная запись слишком сложна, чтобы разбираться в ней. В чем концептуальная причина появления транспонирования, я уже сообщил: если фиксировать базис в $V$, то удобно фиксировать двойственный базис в $V^*$; проблема только в том, что если $V$ — правое векторное пространство, то $V^*$ естественно снабжается структурой левого векторного пространства, что нас не очень радует; чтобы сделать его правым, нужно транспонирование.

Аа, я кажется понял о чем речь. В этой книге тензор типа $(1,1)$ записывается не матрицей $n\times n$, а столбцом длины $n^2$, причем то, что действует на векторные индексы, действует на отрезки длины $n$, а то, что действует на ковекторные индексы, действует на $1,\dots ,n$-ю компоненту этих отрезков. Ничего не скажешь, подходящая книга для начинающих (притом что это противоречит как остальной части этой книги, так и традиции, принятой в учебниках).

[apriv]

Какой еще традиции? А тензор типа $(2,3)$ какой матрицей записывается? Речь только о том, что если записать $e'_*=Ae_*$ и $f'_*=Bf_*$ для двойственных базисов, то $B=A^{-T}$.

[g______d]

Если в координатах посчитать, то будет $A_k^i B_i^l=\delta_k^l$. Т. е. если $A$ и $B$ записать соответственно в базисе и в двойственном базисе, сохраняя порядок значков, то кажется, что транспонирования нет, это обычное матричное произведение. Но оно на самом деле есть и произошло в тот момент, когда мы у двойственного базиса стали писать верхние значки.

[fancier]

Цитата:

Как можно обойтись без транспонирования, если мы переходим в двойственное пространство?

Если $A$ -- матрица перехода от базиса $\{ e\}$ к $\{ e^\prime \}$, то компоненты вектора $(v^i)$ преобразуются по ф-ле $v^{\prime i}=b_j^iv^j$ в то время как компоненты ковектора $(f_i)$ -- по формуле $f_i^\prime =a_i^jf_j$, где $B=A^{-1}$. Ну да, в последнем случае матрица умножается справа на строку.

-- 14.12.2012, 18:41 --

Не умею тут вставлять картинки. Авторы пишут: "Пусть $A^i_j$ -- матрица замены базиса в $L$: $e_k^\prime=A^i_ke_i$, полагают $B=(A^t)^{-1}$ и далее утверждают, что "Координаты $a^{\prime j}$ в базисе $\{e^\prime_j\}$ вектора, первоначально заданного координатами $a^i$ в базисе $\{ e_i\}$, будут $B_k^ja^k$." Это неверно: правильная формула получается при $B=A^{-1}.$ Далее эта ошибка у них распространяется дальше на формулы преобразования компонент тензора.

-- 14.12.2012, 18:43 --

(Оффтоп)

g______d в сообщении #658361 писал(а):

Если в координатах посчитать, то будет $A_k^i B_i^l=\delta_k^l$. Т. е. если $A$ и $B$ записать соответственно в базисе и в двойственном базисе, сохраняя порядок значков, то кажется, что транспонирования нет, это обычное матричное произведение. Но оно на самом деле есть и произошло в тот момент, когда мы у двойственного базиса стали писать верхние значки.

Давайте вместо "кажется" лучше будем формулы писать.

-- 14.12.2012, 18:53 --

apriv в сообщении #658359 писал(а):

Какой еще традиции? А тензор типа $(2,3)$ какой матрицей записывается? Речь только о том, что если записать $e'_*=Ae_*$ и $f'_*=Bf_*$ для двойственных базисов, то $B=A^{-T}$.

Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

[g______d]

Хорошо. Пусть $\{e_i\}$ --- базис, $\{f_i\}$ --- двойственный к нему (и то же самое со штрихами). Пусть $e_i'=\sum_j A_{ij}e_j$. Тогда $f_i'=\sum_{j}B_{ij}f_j$, причем $A=(B^T)^{-1}$. Согласны?

Просто операции над матрицами вводятся в $\S 1.4$ (книжка у меня открыта, можете ссылаться). В этом параграфе матричные операции определяются над парами пространств с выделенными базисами, и матрицы действуют слева.

[apriv]

fancier в сообщении #658367 писал(а):

Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

Ну так мы уже выяснили, что у авторов все пространства правые, поэтому матрицы на них действуют слева. Хотя бы для того, чтобы на тензоры ранга $(2,3)$ не действовать матрицами с пяти разных сторон.

[fancier]

g______d в сообщении #658388 писал(а):

Хорошо. Пусть $\{e_i\}$ --- базис, $\{f_i\}$ --- двойственный к нему (и то же самое со штрихами). Пусть $e_i'=\sum_j A_{ij}e_j$. Тогда $f_i'=\sum_{j}B_{ij}f_j$, причем $A=(B^T)^{-1}$. Согласны?

Просто операции над матрицами вводятся в $\S 1.4$ (книжка у меня открыта, можете ссылаться). В этом параграфе матричные операции определяются над парами пространств с выделенными базисами, и матрицы действуют слева.

Все-таки в математике есть ряд удобных соглашений, в частности, т.н. "матричный формализм" линейной алгебры. Согласно ему, базис самогО пространства преобразуется по формуле $e_j^\prime=a_{ij}e_i,$ где $A$ -- матрица перехода (т.е. в матричном виде это умножение строки базисных векторов на матрицу $A$ справа), тогда для двойственных базисов имеем: $f_i^\prime=b_{ij}f_j,$ где $B=A^{-1}$, и это отвечает умножению слева матрицы, обратной $A$, на столбец векторов двойственного базиса. Понятно, что последнее равенство можно еще транспонировать, и тогда получится видимо то, что Вы написали.

Матрицы действуют слева на координатные столбцы векторов и справа на координатные строки ковекторов, опять же согласно общепринятому в учебниках матричному формализму.

-- 14.12.2012, 19:29 --

apriv в сообщении #658391 писал(а):

fancier в сообщении #658367 писал(а):

Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

Ну так мы уже выяснили, что у авторов все пространства правые, поэтому матрицы на них действуют слева. Хотя бы для того, чтобы на тензоры ранга $(2,3)$ не действовать матрицами с пяти разных сторон.

Выше (в сообщении от -- 14.12.2012, 18:41 --) я привел пример ошибочной формулы, что Вы на это скажете? (только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше). Две стороны кстати достаточно -- одна для ковариантных, другая для контравариантных компонент.

[g______d]

fancier в сообщении #658396 писал(а):

(только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше).

Не помню такого. Мне кажется, авторы в этом довольно аккуратны.

[fancier]

g______d в сообщении #658402 писал(а):

fancier в сообщении #658396 писал(а):

(только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше).

Не помню такого. Мне кажется, авторы в этом довольно аккуратны.

Хорошо, пусть наоборот, все равно думаю согласовать одно с другим не удастся.

Пример. Пусть
$A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$
Получаем: $e_1^\prime =e_1,\quad e_2^\prime=e_1+e_2.$ Пусть вектор $v$ записывался столбцом $(v_1,v_2)^t$ в старом базисе, тогда в новом -- столбцом $(v_1^\prime, v_2^\prime)^t,$ где $v_1^\prime =v_1,\quad v_2^\prime =-v_1+v_2.$ Тогда имеем:

$$v_1e_1+v_2e_2\neq v_1^\prime e_1^\prime+v_2^\prime e_2^\prime=v_1e_1+(-v_1+v_2)(e_1+e_2)=v_2e_1+(v_2-v_1)e_2.$$

Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс -- верхний или нижний -- отвечает номеру строки.

На всякий случай замечу, что такая абракадабра получается если пользоваться формулами из КМ, процитированными мной в сообщении от -- 14.12.2012, 18:41 --.

[g______d]

fancier в сообщении #658404 писал(а):

Хорошо, пусть наоборот, все равно думаю согласовать одно с другим не удастся.

Ну еще раз, я не вижу проблем. Посмотрите параграф 1.4, там написано, что они понимают под матричными операциями. Если есть 2 пространства с выделенными базисами и линейный оператор между ними, то этому набору соответствует вполне конкретная таблица чисел. Я до этого не читал их книжку, но понимал все так же.

-- 14.12.2012, 20:04 --

fancier в сообщении #658404 писал(а):

Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс отвечает номеру строки.

Там нет ни того, ни другого соглашения. Соглашение следующее. Пусть в пространстве $X$ выделен базис $\{e_i\}$, а в пространстве $Y$ --- $\{f_i\}$. Пусть $A\colon X\to Y$ --- линейный оператор. Тогда $Ae_i=\sum_j A_{ij}f_j$. Набор чисел $\{A_{ij}\}$ называется изображающей матрицей оператора $A$ в базисах $\{e_i\}$, $\{f_i\}$. Матричные операции типа транспонирования определяются только в таких обозначениях. Над наборами чисел $A_i^j$ операции просто не определялись. Чтобы их определить, надо переписать все в терминах нижних индексов. Тогда противоречий не будет.

Я бегло просмотрел книгу. Если что не так, поправьте, пожалуйста.

[fancier]

(Оффтоп)

Ок, у меня тут дела, через пару часов вернусь посмотрю внимательней. Но все же думаю что в дополненном предыдущем сообщении все необходимое для обоснования своего тезиса о том, что в книге ошибка, написал.