Тензоры : Высшая алгебра - Страница 2 fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 15:23 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Я вроде бы все детально написал. Можно сказать и так: Вы отождествили $V\otimes V^{-1}$ с $End(V)$ и записали элементы этого пространства как матрицы. Если Вы запишете тензоры в базисе явно как суммы тензорят вида $e_i\otimes f_i$, вы увидите это транспонирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 15:38 


23/09/12
118
apriv в сообщении #658322 писал(а):
Я вроде бы все детально написал. Можно сказать и так: Вы отождествили $V\otimes V^{-1}$ с $End(V)$ и записали элементы этого пространства как матрицы. Если Вы запишете тензоры в базисе явно как суммы тензорят вида $e_i\otimes f_i$, вы увидите это транспонирование.
Хорошо, $V^*\otimes V$ отождествил с $End(V)$. Разложил оператор $T$ по базису $f^i\otimes e_j$: $T=\sum_{i,j}t_i^jf^i\otimes e_j.$ Транспонирование не вижу. Что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 16:52 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Не знаю, для меня координатная запись слишком сложна, чтобы разбираться в ней. В чем концептуальная причина появления транспонирования, я уже сообщил: если фиксировать базис в $V$, то удобно фиксировать двойственный базис в $V^*$; проблема только в том, что если $V$ — правое векторное пространство, то $V^*$ естественно снабжается структурой левого векторного пространства, что нас не очень радует; чтобы сделать его правым, нужно транспонирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
fancier в сообщении #658240 писал(а):
apriv в сообщении #658173 писал(а):
Да вот хотя бы в книжке Кострикина и Манина это гораздо человечнее изложено, хотя она и не новая далеко.
Книга хорошая, но не слишком подходящая для начинающего, имхо. К тому же там похоже ошибка: в п. 4 $\S$4 главы 4 неправильно записан закон преобразования компонент тензора при замене базиса: вместо матрицы $B=(A^t)^{-1}$ должна быть просто обратная матрица $A^{-1}.$


Я тоже плохо понимаю, где ошибка. Как можно обойтись без транспонирования, если мы переходим в двойственное пространство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:06 


23/09/12
118
apriv в сообщении #658350 писал(а):
Не знаю, для меня координатная запись слишком сложна, чтобы разбираться в ней. В чем концептуальная причина появления транспонирования, я уже сообщил: если фиксировать базис в $V$, то удобно фиксировать двойственный базис в $V^*$; проблема только в том, что если $V$ — правое векторное пространство, то $V^*$ естественно снабжается структурой левого векторного пространства, что нас не очень радует; чтобы сделать его правым, нужно транспонирование.
Аа, я кажется понял о чем речь. В этой книге тензор типа $(1,1)$ записывается не матрицей $n\times n$, а столбцом длины $n^2$, причем то, что действует на векторные индексы, действует на отрезки длины $n$, а то, что действует на ковекторные индексы, действует на $1,\dots ,n$-ю компоненту этих отрезков. Ничего не скажешь, подходящая книга для начинающих :lol: (притом что это противоречит как остальной части этой книги, так и традиции, принятой в учебниках).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:12 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Какой еще традиции? А тензор типа $(2,3)$ какой матрицей записывается? Речь только о том, что если записать $e'_*=Ae_*$ и $f'_*=Bf_*$ для двойственных базисов, то $B=A^{-T}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Если в координатах посчитать, то будет $A_k^i B_i^l=\delta_k^l$. Т. е. если $A$ и $B$ записать соответственно в базисе и в двойственном базисе, сохраняя порядок значков, то кажется, что транспонирования нет, это обычное матричное произведение. Но оно на самом деле есть и произошло в тот момент, когда мы у двойственного базиса стали писать верхние значки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:21 


23/09/12
118
Цитата:
Как можно обойтись без транспонирования, если мы переходим в двойственное пространство?
Если $A$ -- матрица перехода от базиса $\{ e\}$ к $\{ e^\prime \}$, то компоненты вектора $(v^i)$ преобразуются по ф-ле $v^{\prime i}=b_j^iv^j$ в то время как компоненты ковектора $(f_i)$ -- по формуле $f_i^\prime =a_i^jf_j$, где $B=A^{-1}$. Ну да, в последнем случае матрица умножается справа на строку.

-- 14.12.2012, 18:41 --

Не умею тут вставлять картинки. Авторы пишут: "Пусть $A^i_j$ -- матрица замены базиса в $L$: $e_k^\prime=A^i_ke_i$, полагают $B=(A^t)^{-1}$ и далее утверждают, что "Координаты $a^{\prime j}$ в базисе $\{e^\prime_j\}$ вектора, первоначально заданного координатами $a^i$ в базисе $\{ e_i\}$, будут $B_k^ja^k$." Это неверно: правильная формула получается при $B=A^{-1}.$ Далее эта ошибка у них распространяется дальше на формулы преобразования компонент тензора.

-- 14.12.2012, 18:43 --

(Оффтоп)



-- 14.12.2012, 18:53 --

apriv в сообщении #658359 писал(а):
Какой еще традиции? А тензор типа $(2,3)$ какой матрицей записывается? Речь только о том, что если записать $e'_*=Ae_*$ и $f'_*=Bf_*$ для двойственных базисов, то $B=A^{-T}$.
Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Хорошо. Пусть $\{e_i\}$ --- базис, $\{f_i\}$ --- двойственный к нему (и то же самое со штрихами). Пусть $e_i'=\sum_j A_{ij}e_j$. Тогда $f_i'=\sum_{j}B_{ij}f_j$, причем $A=(B^T)^{-1}$. Согласны?

Просто операции над матрицами вводятся в $\S 1.4$ (книжка у меня открыта, можете ссылаться). В этом параграфе матричные операции определяются над парами пространств с выделенными базисами, и матрицы действуют слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 18:05 
Заслуженный участник


08/01/12
915
fancier в сообщении #658367 писал(а):
Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

Ну так мы уже выяснили, что у авторов все пространства правые, поэтому матрицы на них действуют слева. Хотя бы для того, чтобы на тензоры ранга $(2,3)$ не действовать матрицами с пяти разных сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 18:23 


23/09/12
118
g______d в сообщении #658388 писал(а):
Хорошо. Пусть $\{e_i\}$ --- базис, $\{f_i\}$ --- двойственный к нему (и то же самое со штрихами). Пусть $e_i'=\sum_j A_{ij}e_j$. Тогда $f_i'=\sum_{j}B_{ij}f_j$, причем $A=(B^T)^{-1}$. Согласны?

Просто операции над матрицами вводятся в $\S 1.4$ (книжка у меня открыта, можете ссылаться). В этом параграфе матричные операции определяются над парами пространств с выделенными базисами, и матрицы действуют слева.
Все-таки в математике есть ряд удобных соглашений, в частности, т.н. "матричный формализм" линейной алгебры. Согласно ему, базис самогО пространства преобразуется по формуле $e_j^\prime=a_{ij}e_i,$ где $A$ -- матрица перехода (т.е. в матричном виде это умножение строки базисных векторов на матрицу $A$ справа), тогда для двойственных базисов имеем: $f_i^\prime=b_{ij}f_j,$ где $B=A^{-1}$, и это отвечает умножению слева матрицы, обратной $A$, на столбец векторов двойственного базиса. Понятно, что последнее равенство можно еще транспонировать, и тогда получится видимо то, что Вы написали.

Матрицы действуют слева на координатные столбцы векторов и справа на координатные строки ковекторов, опять же согласно общепринятому в учебниках матричному формализму.

-- 14.12.2012, 19:29 --

apriv в сообщении #658391 писал(а):
fancier в сообщении #658367 писал(а):
Традиции, согласно которой операторы в базисе записываются матрицами, векторы -- столбцами координат, ковекторы -- строками.

Ну так мы уже выяснили, что у авторов все пространства правые, поэтому матрицы на них действуют слева. Хотя бы для того, чтобы на тензоры ранга $(2,3)$ не действовать матрицами с пяти разных сторон.

Выше (в сообщении от -- 14.12.2012, 18:41 --) я привел пример ошибочной формулы, что Вы на это скажете? (только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше). Две стороны кстати достаточно -- одна для ковариантных, другая для контравариантных компонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
fancier в сообщении #658396 писал(а):
(только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше).


Не помню такого. Мне кажется, авторы в этом довольно аккуратны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 18:40 


23/09/12
118
g______d в сообщении #658402 писал(а):
fancier в сообщении #658396 писал(а):
(только не надо говорить, что верхний индекс -- не номер строки, а нижний -- не номер столбца, авторы, насколько я помню, пользовались такими обозначениями раньше).


Не помню такого. Мне кажется, авторы в этом довольно аккуратны.
Хорошо, пусть наоборот, все равно думаю согласовать одно с другим не удастся.

Пример. Пусть
$A=\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1\\
\end{pmatrix}$
Получаем: $e_1^\prime =e_1,\quad e_2^\prime=e_1+e_2.$ Пусть вектор $v$ записывался столбцом $(v_1,v_2)^t$ в старом базисе, тогда в новом -- столбцом $(v_1^\prime, v_2^\prime)^t,$ где $v_1^\prime =v_1,\quad v_2^\prime =-v_1+v_2.$ Тогда имеем: $$v_1e_1+v_2e_2\neq v_1^\prime e_1^\prime+v_2^\prime e_2^\prime=v_1e_1+(-v_1+v_2)(e_1+e_2)=v_2e_1+(v_2-v_1)e_2.$$ Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс -- верхний или нижний -- отвечает номеру строки.

На всякий случай замечу, что такая абракадабра получается если пользоваться формулами из КМ, процитированными мной в сообщении от -- 14.12.2012, 18:41 --.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
fancier в сообщении #658404 писал(а):
Хорошо, пусть наоборот, все равно думаю согласовать одно с другим не удастся.


Ну еще раз, я не вижу проблем. Посмотрите параграф 1.4, там написано, что они понимают под матричными операциями. Если есть 2 пространства с выделенными базисами и линейный оператор между ними, то этому набору соответствует вполне конкретная таблица чисел. Я до этого не читал их книжку, но понимал все так же.

-- 14.12.2012, 20:04 --

fancier в сообщении #658404 писал(а):
Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс отвечает номеру строки.


Там нет ни того, ни другого соглашения. Соглашение следующее. Пусть в пространстве $X$ выделен базис $\{e_i\}$, а в пространстве $Y$ --- $\{f_i\}$. Пусть $A\colon X\to Y$ --- линейный оператор. Тогда $Ae_i=\sum_j A_{ij}f_j$. Набор чисел $\{A_{ij}\}$ называется изображающей матрицей оператора $A$ в базисах $\{e_i\}$, $\{f_i\}$. Матричные операции типа транспонирования определяются только в таких обозначениях. Над наборами чисел $A_i^j$ операции просто не определялись. Чтобы их определить, надо переписать все в терминах нижних индексов. Тогда противоречий не будет.

Я бегло просмотрел книгу. Если что не так, поправьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры
Сообщение14.12.2012, 19:07 


23/09/12
118

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group