Тензоры

[wronskian]

Доброго времени суток.
Хотелось бы узнать по какой литературе можно начать изучение тензоров и операций с ними с нуля? Беклемишев и Курош как-то мне непонятны по этой теме. Может есть что-то классическое с примерами и максимально "разжеванное"?

PS.Создал тему тут, т.к. не знаю, где еще можно задать такой вопрос.

Спасибо!

[dmitriy11]

Может быть подойдет Акивис, Гольдберг "Тензорное исчисление"? Она уж совсем примитивная.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Я извиняюсь, совсем стал не внимательный и продублировал предыдущее сообщение.

wronskian в сообщении #657854 писал(а):

по какой литературе можно начать изучение тензоров и операций с ними с нуля?

А что значит с нуля? С нуля знаний по тензорам или вообще? Посмотрите Акивис, Гольдберг. Тензорное исчисление.

[wronskian]

мат-ламер
да с нуля именно по тензорам.

мат-ламер, dmitriy11

спасибо!)

[olenellus]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #657972 писал(а):

А что значит с нуля?

Может, начиная с $\varnothing$?
То есть, сначала строим из пустого множества арифметику натуральных чисел, потом целые, потом рациональные, потом поле $\mathbb{R}$, ну а потом уже рассматриваем линейные пространства над этим полем и их тензорные произведения.

[wronskian]

olenellus
буду вынужден не согласиться линейные пространства над полем комплексных у меня уже имеются

[Narn]

Очень подробно и аккуратно написано, насколько я помню, у Постникова, "Лекции по геометрии. Семестр 2".
Это если Вы уже знаете основы линейной алгебры.
Но для прикладников это, видимо, overkill, для чистых математиков, по-моему, то, что надо.

Или можно посмотреть "Курс алгебры" Винберга, там должно тоже быть хорошо написано.

[apriv]

Акивис, Гольдберг — это какой-то безумно устаревший ад в координатах даже для 1969 года. Думаю, почти любой современный учебник линейной алгебры подойдет гораздо лучше.

[Munin]

apriv в сообщении #658088 писал(а):

Думаю, почти любой современный учебник линейной алгебры подойдет гораздо лучше.

Назовите примеры, если не трудно.

[apriv]

Да вот хотя бы в книжке Кострикина и Манина это гораздо человечнее изложено, хотя она и не новая далеко.

[fancier]

apriv в сообщении #658173 писал(а):

Да вот хотя бы в книжке Кострикина и Манина это гораздо человечнее изложено, хотя она и не новая далеко.

Книга хорошая, но не слишком подходящая для начинающего, имхо. К тому же там похоже ошибка: в п. 4 $\S$4 главы 4 неправильно записан закон преобразования компонент тензора при замене базиса: вместо матрицы $B=(A^t)^{-1}$ должна быть просто обратная матрица $A^{-1}.$
P.S.: А вообще лучше всего изучать тензоры, решая задачи из какого-нибудь задачника по линейной алгебре. Например, мне нравится под редакцией Ю.М. Смирнова.

[apriv]

fancier в сообщении #658240 писал(а):

К тому же там похоже ошибка: в п. 4 $\S$4 главы 4 неправильно записан закон преобразования компонент тензора при замене базиса: вместо матрицы $B=(A^t)^{-1}$ должна быть просто обратная матрица $A^{-1}.$

Да нет, вроде бы, все правильно там.

[fancier]

Цитата:

Да нет, вроде бы, все правильно там.

Отнюдь. Например, линейный оператор $T$ -- тензор типа $(1,1)$. Если $A$ -- матрица перехода от $\{e_i\}$ к $\{ e_i^\prime \}$, то для матриц $T^\prime=A^{-1}TA$, т.е. $t^{\prime l}_j=a^i_jb^l_mt^m_i,$ и значит $B=A^{-1}$, а не $(A^t)^{-1}$ как пишут авторы.

[apriv]

Ну так у Вас умножение на $A$ происходит справа, а на $A^{-1}$ — слева, поэтому Вам и кажется, что транспонирования нет. Дело в том, что Вы элементы $V$ записываете как столбики ($V$ — правое векторное пространство), а элементы $V^*$ — как строчки ($V^*$ — левое векторное пространство). Если же записывать все как столбики и считать правым векторным пространством, на котором линейные отображения действуют слева, то строчки нужно транспонировать, и умножение справа на $A$ превращается в умножение слева на $A^T$.

[fancier]

apriv в сообщении #658300 писал(а):

Ну так у Вас умножение на $A$ происходит справа, а на $A^{-1}$ — слева, поэтому Вам и кажется, что транспонирования нет. Дело в том, что Вы элементы $V$ записываете как столбики ($V$ — правое векторное пространство), а элементы $V^*$ — как строчки ($V^*$ — левое векторное пространство). Если же записывать все как столбики и считать правым векторным пространством, на котором линейные отображения действуют слева, то строчки нужно транспонировать, и умножение справа на $A$ превращается в умножение слева на $A^T$.

Не понял что Вы имеете в виду. Думаю, что если пользоваться другим соглашением, то транспонироваться должны и $A$ и $A^{-1}$ (транспонирование только одной из матриц $A, \quad A^{-1}$ изменит тип тензора -- либо на $(2,0)$ либо на $(0,2)$). Кстати в этом же учебнике в гл. 1 $\S$4, п. 8 в) написана, по существу, та же формула $T^\prime =A^{-1}TA$.