Вероятностное пространство траекторий

[Mysterious Light]

Правильнее было б сказать не "траекторий", а достаточно гладких фунцкий $r(t)$, потому что параметризация здесь будет играть значение.

Суть такая: есть частица, которая некоторым образом движется в плоскости. Мы не знаем её траектории, она случайная.
Возможные вопросы, которые можно будет задать, примерно так формулируются: зная положение частицы в некоторый момент времени $t_0$ или набор положений при разных $t_n$, определить распределение положений во время $t'$, то есть $P\{r(t')\in O_\epsilon(r')\}$.
Про частицу известно, что она "помнит" своё поведение "грубо", то есть периодически она почти повторяет свою траекторию с точностью до трансляции на некоторый вектор.[1]

Проблема: я не знаю, как сформировать модель по такому нечёткому описанию. Хотелось бы, чтоб модель была по-проще.

Если бы я знал, что функция $T$-периодична и можно разложить в ограниченный спектр $\bar r(\frac {2\pi n} T),\;n<N$, то можно взять в качестве модели пространство $\mathbb{R}^n$. Более того, если $|\bar r(\frac {2\pi n} T)|<m_n$, где $m_n$ — некоторые числа, то можно можно адекватно ввести случайную величину с равномерным распределением.[2]

Основной вопрос: как можно обобщить понятие "равномерного распределения" до $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, когда у нас спектр не ограничен $\frac {2\pi}T N $?[3]

Какая есть литература по этим вопросам? Наверняка, что-то такое должно быть, но как может называться раздел теорвера, ставящий такие задачи, я не знаю.

(Оффтоп)

[1] Более формально: пусть $r_{\rho,T}(t)=r(t+T)-\rho,\;t\in(0,\tau)$, тогда существует $T$, $\tau$ и $\rho$, что вероятноть отклонения $r_{\rho,T}$ от $r$ на величину $(d,d+\Delta d)$ в некоторой метрике ($L_2$, например) пространства функций при $t\in (0,\tau)$ монотонно убывает по $d$ при любом $\Delta d$.

[2] Вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},P)$ задаётся так: $\Omega=[-m_1,m_1] \times [-m_2,m_2] \times\ldots\times [-m_n,m_n]$, $\mathcal{F}$ — понятно что, $P(\Delta_1\times\Delta_2\times\ldots\times\Delta_n)=\frac{|\Delta_1|}{2m_1}\frac{|\Delta_2|}{2m_2}\times\ldots\times\frac{|\Delta_n|}{2m_n}$, $P$ доопределяется по $\sigma$-аддитивности.

[3] Я придумал следующее: пусть заданы числа $m_n>0$ и пусть

$$\Omega=\prod\limits_{n\in N} [-m_n,m_n]$$

Далее пусть $\mathcal{F}$ есть $\sigma$-алгебра. Наконец, по аналогии, я хотел бы положить

$$P(\prod\limits_n\Delta_n)=\prod_n\frac{|\Delta_n|}{2m_n}$$

но бесконечно умножать числовую последовательность мы не умеем, поэтому можно написать так:

$$P(\prod\limits_n\Delta_n)=\exp\left(\sum\limits_n\ln\frac{|\Delta_n|}{2m_n}\right)$$

доопределяем по аддитивности.
Но, ИМХО, это ущербная модель.