Помогите решить уравнение в числах Фибоначчи

[Ktina]

$$nF_nF_{n+1}=(F_{n+2}-1)^2$$

(Попытка решения)

Мне кажется, что $n$ не может быть больше 8.
Действительно,

$$F_{n+2}\le 2F_{n+1}\to (F_{n+2})^2\le 4F_{n+1}^2\to nF_n\le 4F_{n+1}\to n\le 4\cdot\frac{F_{n+1}}{F_n}\le 8$$

Для первых восьми $n$ тупо проверяем:

$$1\cdot 1\cdot 1=(2-1)^2$$

$$2\cdot 1\cdot 2=(3-1)^2$$

$$3\cdot 2\cdot 3\ne(5-1)^2$$

$$4\cdot 3\cdot 5\ne(8-1)^2$$

$$5\cdot 5\cdot 8\ne(13-1)^2$$

$$6\cdot 8\cdot 13\ne(21-1)^2$$

$$7\cdot 13\cdot 21\ne(34-1)^2$$

$$8\cdot 21\cdot 34\ne(55-1)^2$$

Если лень перемножать в уме, скажем, 8, 21 и 34, достаточно заметить, что левая часть делится на 17, а правая -- нет. Аналогично, в седьмой строчке только левая часть делится на 13, в шестой -- тоже. Ну а первые 5 строчек уже грех в уме не перемножить.

Неужели это всё? А мне сказали, что на КПК лёгких задач не бывает (а ведь уже в который раз накалываюсь).
Может, как-то по-другому надо решать?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #657888 писал(а):

Может, как-то по-другому надо решать?

То соображение, что при больших $n$ левая часть больше правой, здесь самое очевидное и естественное. Стоит ли извращаться? Разве что спортивного интереса ради.

-- Чт дек 13, 2012 18:12:35 --

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #657888 писал(а):

КПК

А что это, кстати?

[ewert]

Ktina в сообщении #657888 писал(а):

Мне кажется, что $n$ не может быть больше 8.
Действительно,

На самом деле даже семи, т.к. соотношение строго меньше двух.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #657892 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #657888 писал(а):

КПК

А что это, кстати?

Кубок Памяти Колмогорова.

(Оффтоп)

Пожалуй, Колмогоров -- мой самый любимый математик. В нём удивительно сочетались качества математического гения и "совка" до мозга костей.

-- 13.12.2012, 14:21 --

ewert в сообщении #657896 писал(а):

Ktina в сообщении #657888 писал(а):

...$n$ не может быть больше 8...

На самом деле даже семи, т.к. соотношение строго меньше двух.

Ну мне просто захотелось побольше в уме поумножать, типа гимнастика для мозга.

-- 13.12.2012, 14:24 --

ewert в сообщении #657896 писал(а):

...т.к. соотношение строго меньше двух.

И, кстати, не строго.
$\frac{2}{1}<2\to\text{я балерина!}$