Теория фотона

[espe]

Munin в сообщении #651203 писал(а):

А почему?

Нужно чтобы получившийся лагранжиан описывал правильное количество степеней свободы. Лагранжиан взаимодействия записывается в максимально общем виде

$$\mathcal{L}_{int}=mA^\mu\partial_\mu\varphi+\frac{m_1}{2}A_\mu A^\mu+\frac{m_2}{2}\varphi^2$$

и находятся условия на коэффициенты. Сам не делал, но думаю что если это проделать, то получится $m_1=m$, $m_2=0$.

[Munin]

Вот $m_1=m$ и интересует. Откуда условия на коэффициенты, всё равно непонятно... Ладно, спасибо.

[espe]

Для получения правильного количества степеней свободы нужно, чтобы как-то модифицировалась калибровочная инвариантность лагранжиана. До "взаимодействия" была

$$\delta A_\mu=\partial_\mu\varepsilon\qquad\delta\varphi=0.$$

При включении "взаимодействия" симметрия, для получения правильного количества степеней свободы, не должна исчезнуть, но она может деформироваться слагаемыми пропорциональными массе. Из размерных соображений можно только написать

$$\delta A_\mu=\partial_\mu\varepsilon\qquad\delta\varphi=m_3\varepsilon$$

Если всё это подставить в лагранжиан с взаимодействием общего вида и потребовать его инвариантность, то коэффициенты зафиксируются относительно друг друга, с точностью до преобразования $m\to km,$ $k$ --- произвольное число. Это число фиксируется требованием, чтобы $m$ имела смысл массы векторного поля.

(Оффтоп)

Я это только что проверил. В нашем случае $k=1$.

[Munin]

Всё состыковалось. Спасибо.

[Bobinwl]

Munin в сообщении #649563 писал(а):

Это вы чушь сказали. Фейнман не "впадает в задумчивость", это учебные лекции. Повторяю, о связи спина со статистикой см. другую лекцию Фейнмана, в книге "Элементарные частицы и законы физики".

Ну наверное не страшно впадать в задумчивость даже на лекция. Фейнман же не истукан одно и тоже долдонить, может и подумать на лекции, показать студентам горизонты, так сказать.

Munin в сообщении #649563 писал(а):

Потому что оно векторное. Вектор преобразуется как спин 1. Вот почему вы до этого у Фейнмана в 8 томе не дочитали?

Дочитал. Да, действительно спин 1 (состояние которого описывается 3-мя "базисными" проекциями ($+ 1, 0, -1$) можно выразить через проекции на 3 оси, которые будут преобразовываться как как вектор. И вы хотите сказать, что только на основании этого (по схожести) делается вывод, что бозон (1) векторная частица, т.е. переносит / формирует векторное поле?
Хотя мне больше нравится более простое объяснение (для фотона): первое направление векторного поля задается направлением распространения фотона, два других ортогональных первому и друг другу правой / левой спиральной поляризацией. Где комбинация левой / правой поляризаций (с нужным фазовым сдвигом) формирует любое направление вектора (например напряженности), лежащего в плоскости перпендикулярной "лучу" фотона: вот вам и произвольное в пространстве векторное поле $E$. Думаю, то же самое легко показать ("на пальцах") и для массивных бозонов (1) - тем более что 0 проекция спина не формирует никакой направленности поля.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #656969 писал(а):

Ну наверное не страшно впадать в задумчивость даже на лекция. Фейнман же не истукан одно и тоже долдонить, может и подумать на лекции, показать студентам горизонты, так сказать.

Фейнман прочитал свой курс буквально один (или несколько) раз. Если бы вы читали его лекции, вы бы знали, что он как раз на них показывал студентам горизонты. Но не "впадал в задумчивость". Мне продолжение обсуждений лекций Фейнмана с человеком, который их не читал толком, но ругает, неприятно.

Bobinwl в сообщении #656969 писал(а):

Да, действительно спин 1 (состояние которого описывается 3-мя "базисными" проекциями ($+ 1, 0, -1$) можно выразить через проекции на 3 оси, которые будут преобразовываться как как вектор. И вы хотите сказать, что только на основании этого (по схожести) делается вывод, что бозон (1) векторная частица, т.е. переносит / формирует векторное поле?

Почему "по схожести"? По тождественности. Представление группы преобразований ровно то же самое.

Bobinwl в сообщении #656969 писал(а):

Хотя мне больше нравится более простое объяснение (для фотона): первое направление векторного поля задается направлением распространения фотона, два других ортогональных первому и друг другу правой / левой спиральной поляризацией. Где комбинация левой / правой поляризаций (с нужным фазовым сдвигом) формирует любое направление вектора (например напряженности), лежащего в плоскости перпендикулярной "лучу" фотона: вот вам и произвольное в пространстве векторное поле $E$. Думаю, то же самое легко показать ("на пальцах") и для массивных бозонов (1) - тем более что 0 проекция спина не формирует никакой направленности поля.

Во-первых, оно неправильно. Во-вторых, если его допилить до правильного, то оно будет подходить не только к фотону, но и к гравитону. А у гравитона - спин 2. Вот так-то.

То, что вы думаете над вопросом, - хорошо. Но то, что вы свои выдуманные объяснения оцениваете сами, и лучше, чем объяснения из учебников, - это плохо. Значит, вы чего-то недопоняли в учебниках. Продолжайте разбираться в объяснениях в учебниках, копайтесь в собственных объяснениях, разыскивая в них нестыковки и ошибки, предъявляйте свои объяснения знающим окружающим для оценки и указания вам на ошибки. Когда доведёте свои объяснения до тех же, что и в учебнике, или будете оценивать свои и из учебников как одинаково хорошие - и внешние наблюдатели тоже дадут такую оценку - значит, вы достигли понимания.

Из ФЛФ вы выжали всё, что только можно, теперь вам нужно другие учебники зачерпнуть. По представлениям групп я рекомендую Рубакова и Гельфанда-Минлоса-Шапиро. По деталям насчёт фотона (и других безмассовых частиц) лучше спросить рекомендации у espe, lek, type2b, fizeg. Я могу толком назвать только Вайнберга, и может быть, Ахиезера-Берестецкого.

[lek]

Боголюбов-Ширков "Квантовые поля" ($\S4$ - Электромагнитное поле).

[Munin]

А почему в этом Боголюбове-Ширкове при обобщении (3.1) до (3.11) возникает общий знак минус?

[lek]

(3.11) не является обобщением (3.1) - это разные теории. Поэтому общие знаки в лагранжианах выбираются независимо. Критерием выбора является положительная определенность энергии. Для скалярного поля это условие следует из формулы (3.4), для векторного - из вида $P_{0}$ в импульсном представлении (выражение, следующее сразу после (3.25)).

[Munin]

Понял (не через (3.25), а через ТЭИ поля Прока). Иду дальше.

-- 12.12.2012 15:59:00 --

Где почитать про "введённую Дираком обобщённую гамильтонову динамику"? Как можно более внятно, если можно.

[lek]

Думаю, что все же Гитман-Тютин "Каноническое квантование полей со связями" (гл. 1-2). Особенно если не зацикливаться на выкладках-доказательствах общих утверждений, а применять их к конкретным лагранжианам-гамильтонианам. Есть еще Дирак "Лекции по теоретической физике" (гл. 1,4) - это уже классика...

[Munin]

Спасибо. Думаю, ниасилю. Хотя про Прока почитать тоже было интересно... вот куда, оказывается, из 4-вектора одна компонента пропадает.

[espe]

Munin в сообщении #657460 писал(а):

Где почитать про "введённую Дираком обобщённую гамильтонову динамику"? Как можно более внятно, если можно.

Не знаю насколько будет понятно, но можно ещё посмотреть:
1) глава 8 в книге Deriglazov A. Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism.
2) глава 3 в книге Шестакова Т. П. Метод континуального интеграла в квантовой теории поля.

Munin в сообщении #657683 писал(а):

Хотя про Прока почитать тоже было интересно... вот куда, оказывается, из 4-вектора одна компонента пропадает.

Дифференцируем $\partial^\mu$ уравнение движения $\partial^\nu F_{\mu\nu}-m^2A_\mu=0$ и получаем условие поперечности $m^2\partial^\mu A_\mu=0$.

[ИгорЪ]

espe в сообщении #651108 писал(а):

Munin в сообщении #650978 писал(а):

А можно это показать поподробнее?

Я имел ввиду следующее. Для примера всё тот же массивный спин 1. Имеется безмассовое векторное поле $A_\mu$ с лагранжианом

$$\mathcal{L}_1=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,$$

которое описывает распространение спиральностей $\pm1$ и безмассовое скалярное поле $\varphi$ (спиральность $0$) с лагранжианом

$$\mathcal{L}_0=\frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi.$$

Хотим из них смастерить лагранжиан для массивного спина 1, который описывает распространение спиральностей (проекций спина) $0$, $\pm1$. Чтобы лагранжиан не развалился на отдельные части нужно как-то соединить поля $\varphi$ и $A_\mu$. Между собой напрямую их в скаляр не свернуть, используем производную $A^\mu\partial_\mu\varphi$. Лагранжиан описывающий "взаимодействие" между полем $A_\mu$ и $\varphi$ имеет вид $\mathcal{L}_{int}=mA^\mu\partial_\mu\varphi+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu.$ В итоге лагранжиан для массивного поля спина 1 имеет вид (лагранжиан Штюкельберга)

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi+mA^\mu\partial_\mu\varphi+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu.\eqno{(1)}$$

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразований

$$\delta A_\mu=\partial_\mu\varepsilon\qquad\delta\varphi=-m\varepsilon.$$

Зафиксировав калибровку в виде $\varphi=0$ получим лагранжиан Прока.

В пределе $m\to0$ ("взаимодействие" исчезает) лагранжиан (1) распадается в сумму двух лагранжианов безмассовых спинов 1 и 0.

Я некоторое время изучал эту тему и позволю реплику. Лагранжиан 1 можно рассматривать как локализацию трансляций скалярного поля $\varphi $. Возникающее калибровочное поле - фотон при этом массивен. Существует неабелево обобщение этого фокуса, являющееся так сказать безхиггсовой альтернативой утяжеления калибровочных полей. Подробности тут topic24485-150.html Достаточно три последних поста просмотреть чтобы не утомлять мозк.

[Munin]

espe в сообщении #657859 писал(а):

Munin в сообщении #657683 писал(а):

Хотя про Прока почитать тоже было интересно... вот куда, оказывается, из 4-вектора одна компонента пропадает.

Дифференцируем $\partial^\mu$ уравнение движения $\partial^\nu F_{\mu\nu}-m^2A_\mu=0$ и получаем условие поперечности $m^2\partial^\mu A_\mu=0$.

Это-то я понял. Интересно было узнать, почему уравнение движения берётся именно такое, а не $\partial_\nu\partial^\nu A_{\mu}+m^2A_\mu=0.$