усиленный закон больших чисел

[max(Im)]

Есть последовательность случайных величин $\xi_1,\ldots,\xi_n,\ldots$, независимых, одинаково распределенных, с некоторым конечным матожиданием $a.$ Определим $S_n=\frac1n \sum_{k=1}^n \xi_k.$ Почему для $S_n$ будет выполняться УЗБЧ? Именно для $S_n$ -- как это показать?

[--mS--]

Возьмите элементарный исход $\omega$, на котором есть сходимость $S_n(\omega)\to a=\mathsf E\xi_1$. И докажите, что на этом же $\omega$

$$\dfrac{S_1(\omega)+\ldots+S_n(\omega)}{n} \to a. $$

См. суммирование по Чезаро, теорема Штольца и т.п.