Приводимый многочлен вида x^p-a

[FFFF]

Очевиден ли тот факт, что если многочлен вида $X^{\mathrm{char} K}-a$ приводим над полем $K$ ненулевой характеристики, то он имеет в нём корень? Мне как-то не очень=(

[nnosipov]

Да, очевиден. Кстати, если $K$ --- конечное поле, то всякий такой многочлен будет приводимым (вспомним про автоморфизм Фробениуса).

[FFFF]

nnosipov
С конечным полем всё понимаю, а вот с бесконечным почему очевидно, поясните, пожалуйста.

[nnosipov]

Пусть $p$ --- характеристика $K$ и $\alpha$ --- корень $x^p-a$ в подходящем расширении $L \supset K$. Тогда $x^p-a=(x-\alpha)^p$ --- разложение над $L$. Если $x^p-a=f(x)g(x)$ --- разложение над $K$ и $0<n=\deg{f(x)}<p$, то $f(x)=(x-\alpha)^n$, откуда $\alpha^n \in K$. Поскольку также $a=\alpha^p \in K$, получим $\alpha \in K$.

[FFFF]

nnosipov в сообщении #657047 писал(а):

$\alpha^n \in K$. Поскольку также $a=\alpha^p \in K$, получим $\alpha \in K$.

Вот этот момент не могу понять, как из того, что $\alpha^n \in K \wedge \alpha^p \in K$ следует, что $\alpha \in K$? Могу от балды предположить, что здесь $\alpha=\alpha^{\gcd(n,p)}$, но почему это было бы верно - не знаю

-- 11.12.2012, 18:37 --

Сразу спрошу, так, для уверенности. Если я теперь беру неприводимый многочлен вида $X^p-a$ и хочу посчитать группу Галуа расширения $K[X]/(X^p-a)$, то правильны ли такие слова: "эта группа тривиальна, так как $K[X]/(X^p-a)$ - это поле разложения многочлена $X^p-a$, а группа Галуа поля разложения переставляет его корни. Поскольку корень только один (кратности $p$), то и автоморфизм только один - тождественный"?

[nnosipov]

FFFF в сообщении #657054 писал(а):

Вот этот момент не могу понять, как из того, что $\alpha^n \in K \wedge \alpha^p \in K$ следует, что $\alpha \in K$? Могу от балды предположить, что здесь $\alpha=\alpha^{\gcd(n,p)}$, но почему это было бы верно - не знаю

$\gcd{(n,p)}=nu+pv$ для некоторых целых $u$, $v$.

[FFFF]

nnosipov
Спасибо Вам большое, теперь всё ясно!