Берман №1839

[Trurlol]

Помогите разобраться в примере $\int \arctg\sqrt{x}dx=(*)$

$u=\arctg\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac 1 {2\sqrt{x}} \frac 1 {1+x^2}dx$
$dv=dx \Rightarrow v=x$

$(*)=x\arctg\sqrt{x} - \frac 1 2 \int \frac {xdx}{\sqrt{x}(1+x^2)}$

Как взять интеграл $\int \frac {xdx}{\sqrt{x}(1+x^2)}$? Пробую заменой, но не совсем понятно что делать дальше, делал так:
$t=1 + x^2 \Rightarrow dt=2xdx \Rightarrow xdx= \frac {dt} {2} x = \sqrt{t - 1}$

[lampard]

Может $\sqrt{x}=t$?

$\int\arctg\sqrt{x}\;\;dx=2\int t\arctg t\;\;dt$

А потом по частям

[bot]

Ошибка при вычислении $du$, а вообще лучше сразу заменить корень на новую переменную.

[Trurlol]

lampard в сообщении #656965 писал(а):

Может $\sqrt{x}=t$?

$\int\arctg\sqrt{x}\;\;dx=2\int t\arctg t\;\;dt$

А потом по частям

$u=arctgt \Rightarrow du=\frac 1 {1+t^2}dt$

$dv = tdt \Rightarrow v = \frac {t^2}{2}$

$\frac {t^2}{2} \arctg t - \frac 1 2\int \frac {t^2}{1+t^2}dt =\frac 1 2(t^2 \arctg t - t + \arctg t)$

С ответом почти сходится, в нем нет $\frac 1 2$. В каком месте я вру?

[ewert]

Trurlol в сообщении #656987 писал(а):

В каком месте я вру?

В самом начале. Вообще замену надёжнее было бы оформить так:

$\ldots\;dx=\ldots\;d\left(\sqrt x\right)^2=\Big[\sqrt x=t\Big]=\ldots\;d(t^2)=\ldots$

[Trurlol]

Потерял двойку вначале, теперь все сходится. Всем большое спасибо.