Найти абсолютную и условную сходимость ряда

[Ketsyki]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться, как такие ряды на условную и абсолютную сходимость исследовать

$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^3+n}{n^4+2} \cos (\frac{n}{3})$

$|a_n| = |\frac{3n^3+n}{n^4+2} \cos (\frac{n}{3})| \le \frac{3n^3+n}{n^4+2} \le \frac{3n^3+n}{n^4} = \frac{3n^2+1}{n^3} \sim \frac{3n^2}{n^3} = \frac{3}{n} \sim \frac{1}{n}$

Т.е. ряд расходится

Условная сходимость:
По признаку Дирихле

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} = 0$

$f'(x)=(\frac{3n^3+n}{n^4+2})' = \frac{2+18 n^2-3 n^4-3 n^6}{(2+n^4)^2}$

При $n>2$, $f'(x)<0$, т.е. $f(x)$ монотонно убывает.

$\sum\limits_{n=1}^\infty |\cos (\frac{n}{3})| \le 1 $ - ограничена

Т.е. по признаку Дирихле, ряд сходится условно

[Whitaker]

Неверно!
Вы общий член своего ряда оцениваете сверху $\frac{1}{n}$ (членом гармонического ряда), который вообще расходится. Нельзя так судить о сходимости.
Во-первых, Ваш ряд $\sum \limits_{n\geqslant 1}\frac{3n^3+n}{n^4+2}\cos\frac{n}{3}$ сходится по признаку Дирихле так как частичные суммы ряда $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\cos\frac{k}{3}$ ограничены в совокупности, а последовательность $\frac{3n^3+n}{n^4+2}$ монотонно стремится к нулю.
А Ваш ряд условно сходится , так как

$$\sum \limits_{n\geqslant 1}\frac{3n^3+n}{n^4+2}\left|\cos \frac{n}{3}\right|\geqslant \sum \limits_{n\geqslant 1}\frac{3n^3+n}{n^4+2}\cdot\dfrac{1+\cos \frac{2n}{3}}{2}=\sum \limits_{n\geqslant 1}\frac{3n^3+n}{2(n^4+2)}+\sum \limits_{n\geqslant 1}\frac{3n^3+n}{2(n^4+2)}\cos \frac{2n}{3}$$

Первый ряд расходится по понятной причине, а второй ряд сходится по тому же признаку Дирихле.
Значит, Ваш ряд сходится условно и все.

(Важное замечание!)

Если Ваш ряд расходится, то ни о какой условной и абсолютной сходимости речи быть не может! Прочитайте определение условной и абсолютной сходимости и поймете!

[Ketsyki]

Блин. В конспекте то же самое было записано :)

Спасибо большое. Вроде бы разобрался.