Короткое введениеУравнение Гойна:

Есть еще extra condition

.
Решение этого уравнения называется функцией Гойна которая представляется в виде ряда

. Однако, вообще говоря, эти фунцкии нерегулярны в сингулярностях. Чтобы сделать их такими, нужно, как обычно это делается, обрезать ряд и получить полином.
Для этого ставим

, что приводит к

и к какому-то уравнению

-й степени на

. Решения обзываем

. Пока все понятно.
Далее, большой науке известны соотношения ортогональности для полиномов. Копируем из
справочника[1] соотношения ортогональности для двух полиномов

Они имеют следующий вид:

где весовая функция:

а

и

-
контуры Похгаммера, которые обходят по одной паре сингулярностей:

.
Тут начинается, собственно то, обо что я моск сламал.
Проверьте, пожалуйста, следующие рассуждения.Допустим

. Тогда единственный полюс подинтегрального выражения (2), который у нас м.б. есть находится в нуле. Если мы возьмем за пару сингулярности

, то (2) превращается в тождество(просто получим интеграл от аналитической ф-ии по замкнутому контуру).
С другой стороны, если даже взять контур содержащий точку 0, он разматывается(ввиду отсутствия второй сингулярности) и превращается в закрытый контур не содержащий точки 0. Тут я могу ошибаться, но даже если я ошибаюсь и мы имеем контуры содержащие 0, весовая функция (3) антисимметрична относительно замены

, а значит- все равно получим 0.
Тогда получается, что даже если

и

интеграл (2) равен 0 и эти соотношения ортогональности- бессмысленный набор символов. Так?
[1] NIST handbook of mathematical functions, Cambridge University Press, 2007