Теория вероятностей

[masterflomaster]

Задача решена неверно. Не могу понять почему???

Вычислить момент порядка $k$ для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1].

{\bf Решение.} Т.к. моментом ${\alpha}$ $k$-ого порядка случайной величины $X$ называется математическое ожидание $k$-ой степени этой случайной величины, т.е:

$$ {{\alpha}}_{k}(X) = M[X^k] $$

Найдем математическое ожидание случайной величины $X$, равномерно распределенной на отрезке [0,1]. Т.к. математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке $(a, b)$ равняется середине этого отрезка, то:

$$ M[X] = 0,5 $$

Следовательно:

$$ {\alpha}_{k}(X) = 0,5^k $$

[gris]

$M(X^k)\ne (M(X))^k$
То есть матожидание к-той степени вовсе не равно $k$-той степени матожидания.
Находите по определению, через интеграл. Там всё просто.

[masterflomaster]

gris в сообщении #656494 писал(а):

$M(X^k)\ne (M(X))^K$
То есть матожидание к-той степени вовсе не равно к-той степени матожидания.
Находите по определению, через интеграл. Там всё просто.

Т.е. : $\int\limits_{0}^{1} x^{k}f(x)dx = {{\alpha}}_{k}(X) = M[X^k]$ , где $x$ точка на оси абсцисс (откуда мы её берем??)?

-- 10.12.2012, 21:27 --

Вот по-нормальному формула написана $\int_{0}^{1} x^{k}f(x)dx = {{\alpha}}_{k}(X) = M[X^k]$

[--mS--]

Уточните вопрос. Что именно "откуда берём"? Переменную интегрирования? Ну возьмите не $x$, а $t$. Или игрек. Или ламбда:

$$\mathsf M(X^k) = \int\limits_0^1 t^k f(t)\, dt = \int\limits_0^1 y^k f(y)\, dy = \int\limits_0^1 \lambda^k f(\lambda)\, d\lambda = \ldots .$$

[masterflomaster]

Чем является $x$ малое под интегралом в данной задаче, какую $f(x)$ нужно взять? Или интеграл вычислять не надо?

[gris]

Надо вычислять. Имелось в виду, что название переменной интегрирования не имеет значения.
Ну и чему равна функция $f(x)$ — плотность для равномерно распределённой величины?

[masterflomaster]

Как я понимаю, $f(x)=1$. Тогда $\int_{0}^{1} x^{k}f(x)dx = \frac{1}{k+1}$

Я верно понял?

[gris]

Верно. Аналогично и для равномерно распределённой на произвольном отрезке. Там плотность тоже постоянна и равна числу, обратному к длине.

[masterflomaster]

Понятно) Большое спасибо)