Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

[Vader87]

Приветствую всех!

Мне необходимо выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор.
и используя критерий Пирсона, на уровне значимости а=0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X – распределена по нормальному закону.

Как я понял,выдвинуть гипотезу -это сделать обоснованный выбор в пользу определённого теоретического распределения.

Поэтому я построил гистограмму, на которой видно,я что распределение близко к нормальному.

Кроме того,я вычислил статистики.

{\alpha _1} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}{x_i}} }}{n} = \frac{{10050}}{{100}} = 100,5;
{\alpha _2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}x_i^2} }}{n} = \frac{{1169100}}{{100}} = 11691
{\alpha _3} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}x_i^3} }}{n} = \frac{{146846250}}{{100}} = 1468462,5
{\alpha _4} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}x_i^4} }}{n} = \frac{{3122482500}}{{100}} = 31224825
\overline x = {\alpha _1} = 100,5
{S^2} = {\alpha _2} - \alpha _1^2 = 11691 - {100,5^2} = 1590,75
S = \sqrt {{S^2}} \approx 39,88
v = \frac{S}{{\overline x }} \times 100\% \approx 39,68\%
\widetilde A = \frac{{{\mu _3}}}{{{S^3}}} = \frac{{{\alpha _3} - 3{\alpha _1}{\alpha _2} + 2\alpha _1^3}}{{{S^3}}} = \frac{{1468462,5 - 3 \times 100,5 \times 11691 + 2 \times {{100,5}^3}}}{{{{39,88}^3}}} \approx - 0,41
\widetilde E = \frac{{{\mu _4}}}{{{S^4}}} - 3 = \frac{{{\alpha _4} - 4{\alpha _3}{\alpha _1} + 6{\alpha _2}\alpha _1^2 - 3\alpha _1^4}}{{{S^4}}} = - 64,54

Как видно эксцесс равен -64,хотя у эксцесса нормального распределения он должен стремится к нулю,а кроме того в свойствах эксцесса указанно что он может принимать значения от (-2;+бесконечности)
Где я ошибся?

[--mS--]

Четвёртый момент пересчитайте.

[Vader87]

--mS-- в сообщении #655824 писал(а):

Четвёртый момент пересчитайте.

благодарю вас, эксцесс получился -0,34. Это уже более похоже на истину.

Следующий момент:
теоретическое распределение я принял за нормальное. Его плотность:
$f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$

нужно найти с помощью метода статистик параметры a и сигма.
сигма = среднеквадратичное отклонение = 39,88.
а как найти параметр a - это матожидание.?

[--mS--]

"Найти" параметры ни по какой конечной выборке не удастся. Найти можно только оценки для этих параметров.

Любой выборочный момент является несмещённой и состоятельной оценкой для соответствующего истинного момента. Т.е. оценивать первый истинный момент (aka математическое ожидание) в данном случае следует первым выборочным моментом (выборочным средним).

[Vader87]

--mS-- в сообщении #655893 писал(а):

"Найти" параметры ни по какой конечной выборке не удастся. Найти можно только оценки для этих параметров.

Любой выборочный момент является несмещённой и состоятельной оценкой для соответствующего истинного момента. Т.е. оценивать первый истинный момент (aka математическое ожидание) в данном случае следует первым выборочным моментом (выборочным средним).

хорошо,а среднеквадратичное отклонение тогда как найти?

[--mS--]

А его и нельзя найти, можно только оценить - например, как Вы и сделали, корнем из выборочной дисперсии.

Вы бросаете монету (кривую-косую) 10 раз. Герб выпадает 6 раз. Как полагаете, можно по этим данным найти вероятность выпадения герба?

[Vader87]

--mS-- в сообщении #655901 писал(а):

А его и нельзя найти, можно только оценить - например, как Вы и сделали, корнем из выборочной дисперсии.

Вы бросаете монету (кривую-косую) 10 раз. Герб выпадает 6 раз. Как полагаете, можно по этим данным найти вероятность выпадения герба?

ясно,благодарю за комментарий. насколько я понял в Excel нужно искать плотность вероятности теоретического распределения:
то есть форумла будет следующая

=НОРМРАСП (x;100,5;39,88;0).

я правильно понял,что x- это середина интервалов моей гистограммы?И вообще что мне лучше (для более точных расчётов) взять- середины интервалов или концы интервалов?

[--mS--]

Vader87 в сообщении #655910 писал(а):

я правильно понял,что x- это середина интервалов моей гистограммы?И вообще что мне лучше (для более точных расчётов) взять- середины интервалов или концы интервалов?

Вообще-то в критерии Пирсона участвуют вероятности попадания в интервалы. Поэтому следует для всех интервалов, кроме крайних, вычислять разности нормальной функции распределения в концах, а для крайних интервалов продлить их границы до плюс/минус бесконечности, т.е. для первого интервала брать просто функцию распределения от его правого конца, для последнего интервала - единица минус функция распределения в его левом конце.

[Александрович]

Vader87 в сообщении #655910 писал(а):

насколько я понял в Excel нужно искать плотность вероятности теоретического распределения:
то есть форумла будет следующая

=НОРМРАСП (x;100,5;39,88;0).

я правильно понял,что x- это середина интервалов моей гистограммы?И вообще что мне лучше (для более точных расчётов) взять- середины интервалов или концы интервалов?

Нужно брать концы и разность интегральных функций,

НОРМРАСП (x;100,5;х;1)

[Andrew Gubarev]

Vader87 в сообщении #655897 писал(а):

среднеквадратичное отклонение тогда как найти?

При вычислении статистики критерия Пирсона следует использовать оценки параметров, найденные методом минимума $\chi^2$ или им асимптотически эквивалентные оценки. Выборочную дисперсию и выборочное среднее, найденные по группированной выборке, использовать нельзя. Метод получения м.о.м.п. приведен в п.2. сообщения Проверка нормальности при помощи критерия типа $\chi^2$. (Это сообщение я набирал в спешке после работы. В нем несколько очевидных опечаток, грамматических ошибок и язык «птичий», но при желании смысл понять можно, ссылки там присутствуют.)
Запрограммировать алгоритм можно на VBA в MS Office Excel, или на любом другом языке, содержащем функцию ошибок или функцию нормального распределения. При спользовании Turbo Pascal (в библиотеке нет функции ошибок) можно воспользоваться http://alglib.sources.ru/... normal.php.

[Если разбиение задается на основе оценок максимального правдоподобия, найденных по исходной (негруппированной) выборке, то, при использовании функции ошибок из указанной выше библиотеки, сходимость хорошая.]

[--mS--]

Andrew Gubarev в сообщении #655965 писал(а):

Выборочную дисперсию и выборочное среднее, найденные по группированной выборке, использовать нельзя.

См. Г.Крамер "Математические методы статистики", пример 2, пункт 30.4. Да и в ситуации, когда проверяемая гипотеза будет принята с такими оценками, она тем более будет принята с оценками по методу минимума хи-квадрат.

[Andrew Gubarev]

В примере 2 п. 30.4 ММС Г. Крамера доказательство асимптотической эквивалентности оценок не приводится. И я сильно сомневаюсь, что оно может быть приведено. Поправки Шеппарда дело не исправляют. Более того, тестируя рекомендации Крамера, путем генерации выборок, получим, что при разумных объемах выборки (100–500) они ложны. Вообще, русское издание 1976 г — это перепечатка издания 1948 г. А основные результаты о критерии $\chi^2$ были получены позже, в 50–70-ые годы. Так что, ссылаться на Крамера — смысла нет.

[--mS--]

Всё равно не вижу смысла городить огород, если критерий принимает гипотезу.

[Vader87]

--mS-- в сообщении #655985 писал(а):

Всё равно не вижу смысла городить огород, если критерий принимает гипотезу.

благодарю всех,я разобрался с данным вопросом
Действительно гипотеза принимается по уровню значимости 0,05. (хотя это было видно уже на гистограмме и по данным асимметрии и эксцесса).


Теперь возник самый последний вопрос - как одновременно изобразить теоретическую кривую и гистограмму на одном графике?

гистограмму нарисовать отдельно могу,график вроде тоже,но вместе какое уродство получается.
Пробовал и стандартными способами (то есть 3 колонки с данными превратить в гистограммы,а потом последнюю превратить в график)и через нестандартную диаграмму график-гистограмма.
Чё-то хрень какая-то получается