2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение07.12.2012, 15:58 
Здравствуйте, к сожалению впервые пришлось иметь дело с цилиндрическими координатами, прошу подсказать где моя ошибка.

Текст задания: вычислить тройной интеграл с помощью цилиндрических или сферических координат.
$$ \iiint\limits_{V} \frac{y^2 z}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}} dx dy dz $$
$$V : y\geqslant0, y\leqslant\sqrt{3}x, z=3(x^2+y^2), z=3 $$
Исходя из описанного задания я понял, что область интегрирования есть часть параблоида вращения, ограниченного плоскостями $$ y=0, z=3, y=\sqrt{3} x $$

Выбрал цилиндрические координаты, все подставил, получил:
$$ \iiint\limits_{V} \frac{z \sin^2{\varphi}}{r} d\varphi dr dz $$

Перехожу к повторному интегралу:
$$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2{\varphi} d\varphi \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{r} dr \int\limits_{3r^2}^{3} z dz$$

Дальше видно, что интеграл расходится. Однако рядом с заданием есть ответ, причем вполне нормальный.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение07.12.2012, 17:07 
Аватара пользователя
Вам что-нибудь говорит термин "якобиан"?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение07.12.2012, 21:26 
Да, я его учитывал. Или я неправильно перешел все-таки?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение08.12.2012, 08:47 
Аватара пользователя
Нет, забыли.В итоге -- лишнее $r$ в знаменателе.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение08.12.2012, 13:40 
Действительно, и не заметил сразу. Спасибо большое.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение19.12.2014, 00:51 
Elie Fourier
А почему у вас угол изменяется в таких пределах?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат
Сообщение06.05.2015, 20:13 
Lapana в сообщении #949245 писал(а):
Elie Fourier
А почему у вас угол изменяется в таких пределах?

С углом там всё порядке, отсчёт от оси икс ведётся. Верхний предел - арктангенс от $\sqrt{3}$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group