Рыцари и лжецы

[shukshin]

Прошу помочь мне с элементарной задачей, над которой маюсь уже второй день. Как хоть подступиться?

На острове жили 2011 негритят, каждый из которых был либо “рыцарем”, всегда говорящим правду,
либо “лжецом”, который всегда лжет. Один из негритят сказал: Среди жителей острова, отличных от
меня, нечетное число лжецов. После чего поперхнулся, и их осталось 2010. Еще один из негритят сказал ту же самую фразу: Среди жителей острова, отличных от меня, нечетное число лжецов, после чего
не проснулся, и их осталось 2009. И так далее, они по одному говорили эту фразу и исчезали. Сейчас на острове осталось 10 негритят. Сколько лжецов могло быть среди негритят изначально?

[arseniiv]

После того как умирает рыцарь, истинность утверждения не меняется. Иначе — меняется.

Не знаю, поможет ли это…

[shukshin]

Да, кстати, поможет! Я вот сейчас хорошо задумался и все-таки решил.
Вот если умирает лжец, то получается, что фраза: "Среди жителей острова, отличных от меня, нечетное число лжецов" ложна и остается четное число лжецов, и следующий лжец уже скажет правду, что невозможно. А дальше дело логики

[Ktina]

Возьмём первого из умерших лжецов. После его смерти общее число живых лжецов станет чётным. Теперь не может умереть ещё один лжец, так как перед смертью ему пришлось бы сказать правду, но и рыцарь тоже не может умереть, так как перед смертью ему пришлось бы солгать. Значит, первый из умерших лжецов будет и последним. Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: не умерло ни одного лжеца. Тогда изначально число лжецов было нечётным и не превышало 10 (так как в конце истории осталось 10). То есть, возможные варианты -- 1, 3, 5, 7 или 9 лжецов.

Случай 2: умер ровно один лжец. Тогда из 10 оставшихся в живых негритят чётное число будут лжецами, но нужно не забыть добавить ещё одного, того, кто умер. Возможные варианты -- 1, 3, 5, 7, 9 или 11 лжецов.

Ответ: $n\in\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$