Может ли многообразие быть несвязанным?

[Munin]

schekn в сообщении #654870 писал(а):

С учетом того, что мы в дальнейшем будем изучать риманово многообразие и ОТО, мне опираться на определение Рашевского или мат. энциклопедии?

Достаточно упрощённого определения по Рашевскому. Вещей, о которых говорит g______d, вам не понадобится.

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #654813 писал(а):

группа Лоренца, будучи группой Ли, является многообразием... несвязным.

Обождите. Группа Лоренца имеет четыре несвязные компоненты. Влечёт ли существование несвязных компонент группы то, что и групповое многообразие тоже будет несвязным? Это действительно так?

[olenellus]

Связность — топологическое свойство.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #654952 писал(а):

Влечёт ли существование несвязных компонент группы то, что и групповое многообразие тоже будет несвязным? Это действительно так?

Это одно и то же утверждение.

[schekn]

Munin в сообщении #654886 писал(а):

Достаточно упрощённого определения по Рашевскому. Вещей, о которых говорит g______d, вам не понадобится.

Спасибо, а Черная дыра в диапазоне координат r: 0<r<+бесконечность является связанным многообразием?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #654997 писал(а):

а Черная дыра в диапазоне координат r: 0<r<+бесконечность является связанным многообразием?

Более того, в подходящей системе координат 3-пространство ($t=\operatorname{const}$) вообще Евклидово:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - (dr - V^r dt)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

$$V^r = \pm c \, \sqrt{\frac{r_g}{r}}$$

Эта метрика получена Пэнлеве в 1921 году преобразованием координат из метрики Шварцшильда.

[Munin]

schekn в сообщении #654997 писал(а):

Спасибо, а Черная дыра в диапазоне координат r: 0<r<+бесконечность является связанным многообразием?

Не связанным, а связным. Да, связным, и односвязным, но уже не 2-связным.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #655019 писал(а):

schekn в сообщении #654997 писал(а):

а Черная дыра в диапазоне координат r: 0<r<+бесконечность является связанным многообразием?

Более того, в подходящей системе координат 3-пространство ($t=\operatorname{const}$) вообще Евклидово:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - (dr - V^r dt)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

$$V^r = \pm c \, \sqrt{\frac{r_g}{r}}$$

Эта метрика получена Пэнлеве в 1921 году преобразованием координат из метрики Шварцшильда.

Из метрики Шварцшильда к метрике Пенлеве можно перейти сингулярными преобразованиями:

$t=\tau+2\sqrt{r_gr}+r_g\ln{\frac{\sqrt{r}-\sqrt{r_g}} {\sqrt{r}+\sqrt{r_g}}}$
В моих обозначениях c=1, t- шварцшильдовское время, $\tau$ - время Пенлеве

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #655069 писал(а):

Из метрики Шварцшильда к метрике Пенлеве можно перейти сингулярными преобразованиями

Страх и ужас здесь даже не столько в сингулярности, сколько в том, что при $r < r_g$ преобразование становится комплексным. То есть при $r \leqslant r_g$ метрика Шварцшильда нефизическая, но это и так было понятно, без Пэнлеве.

[schekn]

Munin в сообщении #655056 писал(а):

schekn в сообщении #654997 писал(а):

Спасибо, а Черная дыра в диапазоне координат r: 0<r<+бесконечность является связанным многообразием?

Не связанным, а связным. Да, связным, и односвязным, но уже не 2-связным.

Я вот стесняюсь спросить, а не может быть такой ситуации , когда карта Шварцшильда покрывает диапазон $r>r_g$, но при этом относится к несвязному многообразию , если предположить, что в области $r<r_g$ есть своя метрика, удовлетворяющая уравнениям Г-Э. ?

[Munin]

Ну давайте посмотрим. Эта карта имеет образ в 4-мерном пространстве координат, заданный условиями $\forall t,\quad r>r_g,\quad \theta\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}),\quad \varphi\in(0,2\pi).$ То есть образ - связная область (произведение полуплоскости на прямоугольник). Так что прообраз этой карты не может быть несвязным множеством, а если и является частью несвязного многообразия, то весь принадлежит одной компоненте связности. При этом, что там на этом многообразии вне этой карты (в $r\leqslant r_g$), уже неважно.

Пример несвязного многообразия для любого решения уравнений Эйнштейна: несвязное объединение многообразия, подчиняющегося этому решению, и пространства Минковского - "параллельной вселенной".

[alcoholist]

Someone в сообщении #654806 писал(а):

А односвязность - это другое свойство. Оно означает, что всякую замкнутую кривую на многообразии можно посредством непрерывной деформации стянуть в точку.

Не совсем точно -- у Вас двоеточие односвязным получается))) односвязное -- это связное + то, что Вы сказали (любое $(k+1)$-связное пространство является $k$- связным по определению)

[Someone]

Вы правы, но я не имел намерения сформулировать точное определение. Просто отметил, что это понятие связано с другим свойством.
Впрочем, я могу и неумышленно наврать.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #655091 писал(а):

schekn в сообщении #655069 писал(а):

Из метрики Шварцшильда к метрике Пенлеве можно перейти сингулярными преобразованиями

Страх и ужас здесь даже не столько в сингулярности, сколько в том, что при $r < r_g$ преобразование становится комплексным. То есть при $r \leqslant r_g$ метрика Шварцшильда нефизическая, но это и так было понятно, без Пэнлеве.

Поставьте модуль под логарифмом. Так лучше?

-- 07.12.2012, 11:27 --

Munin в сообщении #655243 писал(а):

Ну давайте посмотрим. Эта карта имеет образ в 4-мерном пространстве координат, заданный условиями $\forall t,\quad r>r_g,\quad \theta\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}),\quad \varphi\in(0,2\pi).$ То есть образ - связная область (произведение полуплоскости на прямоугольник). Так что прообраз этой карты не может быть несвязным множеством, а если и является частью несвязного многообразия, то весь принадлежит одной компоненте связности. При этом, что там на этом многообразии вне этой карты (в $r\leqslant r_g$), уже неважно.

Пример несвязного многообразия для любого решения уравнений Эйнштейна: несвязное объединение многообразия, подчиняющегося этому решению, и пространства Минковского - "параллельной вселенной".

Пример с Минковским понятен. А вот со Шварцшильдом пока не очень.
Попробую обосновать свои подозрения.
Возьмем плоскость в декартовых кординатах (x,y). сделаем недопустимые в ОТО и топологии преобразования координат:
$ \bar{x}=x+\frac1 x$
$ \bar{y}=y$

Плоскость в новых координатах оказывается разрезанной на 2 несвязанных куска, разделенных прямой x=0. Это получилось так, потому что мы использовали недопустимые преобразования. Не получается ли подобное с Черной дырой?
Мы нашли решение в виде например , метрики Леметра , затем использовали недопустимые координатные преобразования, обратные (102.1) (по ЛЛ-2)



имеющие логарифмическую сингулярность в $r=r_g$.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #655417 писал(а):

Поставьте модуль под логарифмом. Так лучше?

Точно! Можно же возвести в квадрат, а логарифм разделить на два. Комплексность исчезнет.

schekn в сообщении #655417 писал(а):

Не получается ли подобное с Черной дырой?

Да, на горизонте у Шварцильда именно это и получается.
Другое дело сингулярность в $r = 0$.