Как определить "не принадлежит"?

[arseniiv]

Побережный Александр, вы плодите сущности на пустом месте. $\varnothing$ — это обозначение пустого множества, а не непонятного объекта под названием «отсутствие». $\{a\}$ — это обозначение множества, содержащего ровно один элемент, который равен чему-то, обозначаемому $a$. А теперь совершенно технически, по modus ponens, выводим, чьим обозначением является $\{\varnothing\}$. И не надо никаких неясных слов, которыми нельзя оперировать формально — для их выдумывания теория множеств не нужна.

[Sonic86]

Пускай ТС решает задачи!:

Xaositect в сообщении #654907 писал(а):

0. Сколько элементов содержит множество $\{\varnothing\}$? Перечислите их.
1. Верно ли, что $\varnothing = \{\varnothing\}$? Почему?
2. Докажите по определению, что $\varnothing$ является подмножеством любого множества.
3. Докажите по определению, что непустое множество не может быть подмножеством пустого.
4. Найдите булеан пустого множества.

[Xaositect]

Побережный Александр в сообщении #655027 писал(а):

Подскажите, правильно ли я понял.
$\varnothing$ - символ, обозначающий отсутствие элементов.
$\{\varnothing\}$ - символ, обозначающий множество, содержащее элементы никак не входящее в заданное. И поэтому $\varnothing\neq\{\varnothing\}$.
И именно $\{\varnothing\}$ входит в произвольное множество в качестве элемента.

Все плохо.
$\varnothing$ - это обозначение пустого множества.
$\{\varnothing\}$ - это обозначение множества, имеющего один элемент - пустое множество.
Множества, входящего в произвольное множество в качестве элемента, не существует.
Множество, являющееся подмножеством любого множества - это $\varnothing$.

-- Чт дек 06, 2012 22:40:26 --

Моего почти отсутствующего педагогического таланта тут явно недостаточно. Я не могу представить, каким образом эти манипуляции можно не понимать, поэтому не могу научить их понимать. Пусть кто-нибудь другой этим займется.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Чудесная штука это пустое множество. Из его существования, к примеру, следует, что все сиреневые лошади водят трамваи ;-)

[bot]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #655244 писал(а):

Чудесная штука это пустое множество. Из его существования, к примеру, следует, что все сиреневые лошади водят трамваи

А я вот в рекламе по ТВ видел сиреневую лошадь, теперь знаю, куда она скакала - на работу в трамвайный парк.

[Побережный Александр]

Принцип "Бритва Оккама" гласит:"Не следует множить сущности без необходимости".
Я пытаюсь этому принципу следовать. Я считал, что $\varnothing=\{\varnothing\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{\{\varnothing\}\}=...$
Но оказывается, принято считать $\varnothing \neq \{\varnothing\}$.
Сразу следует вывод, что $\{\varnothing\}$ - не пустое множество. Значит это некоторое множество, которому что-то соответствует в реальной действительности. Теперь я пытаюсь понять что это за множество, какой его аналог в жизни есть. Приводили же пример с коробками.
Я предположил, что то содержание коробок, которое не соответствует нашему выбранному множеству и будет $\{\varnothing\}$.
В указанном примере были коробки с деревянными единицей, двойкой и тройкой.
Пустая коробка соответствовала $\{\varnothing\}$. Но ведь если рассматривать не пустые коробки, но заполненные камнями, вывод тот же. Главное, что такая коробка не содержит элементов заданного множества (деревянных единицу, двойку и тройку). И не важно чем заполнена коробка, без наших деревяшек это будет $\{\varnothing\}$.
Мне показалось это логичным. В данном случае я не ввожу новые сущности, как сказал arseniiv, я для себя объяснил необходимость появления выражения $\varnothing \neq \{\varnothing\}$.
Прошу извинить за непонятливость, но для меня это обсуждение много дало.
Спасибо всем!

[ИСН]

У Вас ужас какой-то. Что такое "наше выбранное множество"? Что такое "заданное множество"? Ведь их нет, а у Вас они почему-то есть, и на них всё держится. Откуда они, зачем?

[Побережный Александр]

Изначально речь шла о построении булеана. А там присутствует, как элемент, пустое множество.

[ИСН]

Изначально сотворил бог небо и землю. Но Ваш-то крайний вопрос (насчёт $\varnothing \neq \{\varnothing\}$) не имел никакого отношения ни к этому, ни к булеану.

[Ktina]

Побережный Александр в сообщении #652679 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2

Смотреть http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.94.D0.BE.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0

(Оффтоп)

Ссылка даётся так и так.

[Joker_vD]

Еклмн. Пустая коробка: вот она, $\{\}$. Одни стенки и ни черта внутри. Но обычно ее так не рисуют, а рисуют $\varnothing$. $\varnothing=\{\}$.

А $\{\varnothing\}$ — или, что то же, $\{\{\}\}$ — это коробка, в которой лежит пустая коробка. Но внешняя-то коробка непуста! В ней-то лежит кое-что: а именно, пустая коробка. И я вам более скажу — та деревянная единица, она, ну, на самом деле она открывается. Деревянная коробка в форме единицы, каково? Во-о-от, а внутри этой деревянной единицы лежит коробка... пустая коробка. $1=\{\varnothing\}$.

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #655436 писал(а):

Я пытаюсь этому принципу следовать. Я считал, что $\varnothing=\{\varnothing\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{\{\varnothing\}\}=...$

Вещи с такими свойствами рассматривать, конечно, можно, но множествами они называться категорически не могут, потому что из одних только множеств (без других вещей вообще) можно кучу всего построить (например, весь математический анализ, как бы вы его ни видели), а из этих ничего не построить — они все равны друг другу, так как вы все внутренние скобки выкидываете.

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, в принципе с пустым множеством разобрался. Но хочу вернуться к озвученному уже вопросу, но который остался без ответа для меня.
Множество $K=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$,
его булеан $M=2^K=\{\{\varnothing\},\{1\},\{2\},\{3\},\{\{1\},\{2\}\},\{\{1\},\{3\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\}$
Я вижу перед собой два элемента $\{2\}$ и $\{3\}$.
Вопрос. К какому множеству я их должен отнести?
Насколько я понимаю, это зависит от формы записи.
Если запись такая $\{\{2\},\{3\}\}$, то с одной стороны такой элемент есть в булеане, а с другой стороны эти элементы есть в К. Запись $\{2\}$ и $\{3\}$ может говорить об элементах из множества К, но такие же элементы в булеане. Какая форма записи должна быть, чтобы понять о каком множестве сейчас идет речь.

Для ИСН, где-то с этого момента пошла дискуссия про пустое множество.

[ИСН]

У Вас много лишних фигурных скобок.

[Deggial]

Побережный Александр в сообщении #655737 писал(а):

Множество $K=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$,
его булеан $M=2^K=\{\{\varnothing\},\{1\},\{2\},\{3\},\{\{1\},\{2\}\},\{\{1\},\{3\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\}$

Неверно.
Либо для такого булеана следует брать $K=\{1;2;3\}$, либо булеан выглядит сложнее (в частности, содержит элемент $\{\{1\}\}$).
Вы понимаете, что $a\neq\{a\}$? И что вообще все $a,\{a\},\{\{a\}\},...$ различны?
Если все так плохо, воспользуйтесь аналогией с коробками.