электростатика

[kis]

Радиусы двух проводящих концентрических сфер отличаются в 2 раза. Внутренняя сфера заряжена отрицательным зарядом -q, а внешняя - положительным +3q. Во сколько раз n изменится потенциал внутренней сферы, если сферы соединить проводником?

цитата из решения:
"..до соединения сфер проводником потенциал сферы равен $\varphi '_{in} = -k \frac{q}{R} + k \frac{3q}{2R}$ "
не понимаю, почему потенциал внутренней сферы определяется как суперпозиция полей внутренней и внешней сферы? ведь поле между сферами определяется только зарядом внутренней сферы, потому что поле, создаваемое зарядом сферы большего радиуса, не проникает внутрь внешней сферы.

[rustot]

ему и не нужно проникать. там где поле есть, потенциал при движении меняется, там где поля нет - остаются неизменным (а не становится нулевым). внутри одиночной заряженной сферы поля нет, а вот потенциал равен потенциалу на поверхности.

двигаемся от бесконечности к сферам, интегрируя по пути поле, создаваемое обоими сферами, получаем в итоге потенциал в каждой точке по пути. потом пересекаем поверхность внешней сферы, и _продолжаем_ (а не начинаем с нуля) интегрировать, внешняя сфера перестанет влиять на дальнейшее _изменение_ потенциала, но свой вклад в его конкретное значение она уже внесла

[kis]

rustot в сообщении #654927 писал(а):

внутри одиночной заряженной сферы поля нет, а вот потенциал равен потенциалу на поверхности.

но ведь это разногласие с формулой $\varphi = Ed$. Внутри сферы напряженность равна нулю.

[rustot]

это формула для _разности_ потенциалов, то есть внутри одинокой заряженой сферы разницы потенциалов между двумя точками нет, то есть потенциал неизменен. неизменен != нулевой

чтобы найти разницу потенциалов между точками интегрируют по расстоянию d между ними (просто умножают при неизменном поле). а вот чтобы найти не разность между точками, а потенциал в одной точке - интегрируют от этой точки до бесконечности. а по пути к бесконечности вы выйдете за пределы сферы, там поле есть

что есть потенциал точки внутри сферы - это нормированная энергия, которую нужно потратить, чтоб притащить заряд из бесконечности и поместить в эту точку. эта энергия явно ненулевая, внутри сферы заряд можно перемещать беззатратно, но вот чтоб дотащить его до сферы против сил поля придется попотеть

[kis]

ага, из последнего определения все стает понятнее. большое спасибо вам за помощь!

[kis]

еще один момент не понятен: после соединения сфер заряд малой сферы перетечет на большую сферу. это следует из соображений индуцированных зарядов. т.е. заряд внешней сферы после соединения будет равен $q'' = 3q - q = 2q$.

но если формально записать систему:
$3q - q = q' + q''
$k \frac{q'}{R} = k \frac{q''}{2R}$
первое ур-ие - закон сохранения заряда. второе - условие равенства потенциалов обоих шаров.
то из системы получится $q' = \frac{2q}{3}, q'' = \frac{4q}{3}$ - не сходится с соображениями, которые я описал выше. почему?

[ewert]

kis в сообщении #655010 писал(а):

второе - условие равенства потенциалов обоих шаров

, причём неверное. Вы снова зачем-то приравниваете друг другу индивидуальные потенциалы вместо суммарного.

[kis]

точно. совсем забыл. большое спасибо.

[kis]

к сожалению, что-то я все-равно еще не понял:
$\varphi = k\frac{q'}{R}+k\frac{q''}{2R}$
$\varphi = k\frac{q''}{2R}+k\frac{q'}{R+R}$
(для удобства чтения не стал приравнивать)
первое уравнение(суммарный потенциал первой сферы): первое слагаемое - потенциал меньшей сферы, второе - потенциал большей сферы(внутри "матрешки" он не изменяется).
второе уравнение(суммарный потенциал второй сферы): первое слагаемое - потенциал большей сферы, второе - потенциал меньшей сферы.
$k\frac{q'}{R}+k\frac{q''}{2R} = k\frac{q''}{2R}+k\frac{q'}{R+R}$
$k\frac{q'}{R} = k\frac{q'}{2R}$

[rustot]

это равенство выполняется только если заряд внутренней сферы получился нулевой. так оно и будет.

коли сферы замкнули, то они имеют один потенциал, везде внутри внешней сферы потенциал неизменен, а значит внутри нее отсутствует какой-либо заряд

[kis]

я по привычке все общие множители сократил, в том числе и заряд.
спасибо -)