Может ли многообразие быть несвязанным?

[schekn]

Вопрос возник в результате спора на одном из форумов.
Вот 5-й пункт в определении многообразия в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" стр 380.





Однако я встретил мнение у участников спора, что можно рассматривать несвязанные многообразия.
Могут ли быть несвязанные многообразия?
Возможны ли несвязанные римановы многообразия?
Или это вопрос больше к математикам?

[olenellus]

Рашевского не читал. Несвязные многообразия возможны. В том числе и римановы. Пример: нульмерная сфера.

[pohius]

Рашевский пишет с расчетом на ОТО. Наверно по этому ему нужна односвязность А так видимо любые.

[Munin]

Математическая Энциклопедия, статья "Многообразие":

Цитата:

Для несвязных М. обычно берут компоненты одной размерности.

[Someone]

pohius в сообщении #654722 писал(а):

ему нужна односвязность

Ну, Рашевский пишет о связности. А односвязность - это другое свойство. Оно означает, что всякую замкнутую кривую на многообразии можно посредством непрерывной деформации стянуть в точку. Например, двумерная сфера односвязна, а двумерный тор - нет.

[fizeg]

schekn
Несвязные многообразия еще как могут быть, к примеру группа Лоренца, будучи группой Ли, является многообразием... несвязным.

Но если рассматривать наш мир как многообразие, его несвязность на настоящий момент выглядит как минимум ненужным усложнением. Вообще это интересный вопрос, может ли вообще взаимодействовать материя на разных несвязных компонентах, если мы не вводим никаких специальных взаимодействий, а ограничиваемся только локальной ктп на них В классическом пределе точно нет. Квантово тоже казалось бы не должны

[pohius]

Someone в сообщении #654806 писал(а):

Рашевский пишет о связности.

Совершенно верно. Я это и имел ввиду. Но в итоге лопухнулся.

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #654813 писал(а):

schekn
Квантово тоже казалось бы не должны

Ежели квантовать гравитацию по взрослому, то физический объект "пространство", как бы, должен будет пребывать в суперпозиции всяческих состояний. Среди этих всяческих состояний вполне могут быть состояния несвязанных многообразий. А значит между несвязанными пространствами (на квантовом уровне) будет возможно взаимодействие навроде обменного взаимодействия в квантовой механике. Но это, конечно, бабка надвое сказала.

[fizeg]

SergeyGubanov
Я не говорю, что никакого взаимодействия за пределами локальной ктп не будет. Но это очень сильно бабка сказала. Весь вопрос, как вы получаете эти несвязные компоненты, потому что вы всегда можете ввести руками двойник, никак не учитывающий "взрослые" взаимодействия.

[olenellus]

Munin в сообщении #654797 писал(а):

Математическая Энциклопедия, статья "Многообразие":

Цитата:

Для несвязных М. обычно берут компоненты одной размерности.

Ммм? А разве одинаковая размерность не проистекает прямо из определения многообразия?

[Munin]

fizeg в сообщении #654813 писал(а):

Квантово тоже казалось бы не должны

Квантово - существуют флуктуации топологии, меняющие связность *). Так что подальше от квазиклассического предела всё должно быть.

*) По крайней мере, в изложении Хокинга, в рукомахательном режиме рассуждающего про функциональный интеграл в лагранжевом смысле от гравитации. Это означает, что мы фиксируем границу пространственно-временного многообразия, а заклеиваем её чем угодно, и считаем действие; и по этому чему угодно интегрируем. По-моему, достаточно правдоподобно.

-- 06.12.2012 02:57:33 --

olenellus в сообщении #654835 писал(а):

Ммм? А разве одинаковая размерность не проистекает прямо из определения многообразия?

Оттеда же:

Цитата:

МНОГООБРАЗИЕ — геометрическим объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства $\mathbb{R}^n$ или другого векторного пространства.
...
Фундаментом общего понятия М. является определение топологического многообразия как топологич. пространства, в к-ром каждая точка имеет окрестность $\mathfrak{X}$ и гомеоморфизм $\varphi\colon\mathfrak{X}\to U$ на область в $\mathbb{R}^n$ или в полупространстве $\mathbb{R}^n_+=\{x\in\mathbb{R}^n,x_n\geqslant 0\};$ гомеоморфизм $\varphi$ наз. локальной параметризацией или картой, в $\mathfrak{X}.$ Размерность $n=\operatorname{dim}M$ является инвариантом связного М. Для несвязного М. обычно берут компоненты одной размерности.

Я-то что, я примус починяю... А Мат. Энциклопедия стоит того, чтобы её читать лично... Хотя что-то тут конкретно в этом месте порядок кванторов не указан, хотя всё очевидно из контекста...

[g______d]

Ну как, не сказано же, что $n$ во всех точках одинаковое. Если предполагать, что оно связное, то это довольно содержательная теорема (особенно в случае, когда $M$ не гладкое, а лишь топологическое).

[olenellus]

Понятно. Просто, мне встречались определения, где $\mathbb{R}^n$ явно фиксировано с самого начала.

[g______d]

Да, по-моему, они бывают вообще во всех комбинациях :)

-- 06.12.2012, 03:42 --

Кстати, если определять $n$-мерное многообразие, а не просто многообразие, то это автоматически фиксирует $n$. Так, например, оно в английской википедии определяется. Какое определение идеологически правильное, я не знаю (да и нужно ли это?).

[schekn]

Все-таки я не очень понял из вышесказанного. С учетом того, что мы в дальнейшем будем изучать риманово многообразие и ОТО, мне опираться на определение Рашевского или мат. энциклопедии?