Нетеровость

[klonic]

Добрый вечер! Возникли большие трудности со следующей задачей:

Дан $A$-модуль $M$, $A$--нетерово. Нужно доказать, что $m$ из $M$ нулевой, если его образ нулевой в $M_p$ для всех $P$ из $Ass(M)$. Еще нужно доказать, что гомоморфизм $f: M \rightarrow N$ инъективен тогда и только тогда, когда $f_p:M_p\rightarrow N_p$ (индуцированное отображение) инъективно для всех $P$ из $Ass(M)$.

Помогите, пожалуйста, разобраться.

[apriv]

Подсказка: идеал, максимальный среди всех аннуляторов элементов $M$, является простым.

[klonic]

Спасибо за подсказку. Пытался разобраться, но так и не понял. Не могли бы Вы пояснить? Спасибо!

[apriv]

Ну, допустим.

klonic в сообщении #650482 писал(а):

Нужно доказать, что $m$ из $M$ нулевой, если его образ нулевой в $M_p$ для всех $P$ из $Ass(M)$.

Пусть $m\neq 0$. Рассмотрим аннуляторы всяких разных элементов, содержащие аннулятор $m$. Среди этих идеалов есть какой-то максимальный $P$. Этот идеал прост, поэтому лежит в $\mathrm{Ass}(M)$. Ну и он содержит аннулятор $m$, поэтому $m/1\neq 0$ в $M_P$.

[klonic]

Спасибо большое! С этим я разобрался. А как быть со вторым вопросом? Что-то никак не понимаю

[apriv]

Локализация является точным функтором; посмотрите на ядро и примените то же самое рассуждение.