Функциональный анализ,замкнутый и сопряженный оператор

[Lickut]

1)Доказать,что оператор $A:C[0,1]\to C[0,1] , A(x(t))=\frac{d^2}{dt}x(t)$ замкнутый
(для первой производной есть теорема с мат.анализа, а для вторых производных?)
2)Доказать,что если $A:H\to H$ , область определения оператора А плотна, то
a) $(\operatorname{Im} A)^\perp=\operatorname{Ker}(A^*)$
б) но $(\operatorname{Ker}A)^\perp\ne\overline{\operatorname{Im}(A^*)}$
пункт (а) я сделал,а вот контрпример к пункту (б) не могу найти

[ewert]

Lickut в сообщении #653262 писал(а):

a) $(\operatorname{Im} A)^\perp=\operatorname{Ker}(A^*)$

Это -- стандартная теорема и доказывается тупо переводом формулировок с одних языков на другие. Только надо иметь в виду, что само существование сопряжённого оператора может иметь место быть лишь тогда, когда исходный оператор плотно определён.

Lickut в сообщении #653262 писал(а):

б) но $(\operatorname{Ker}A)^\perp\ne\overline{\operatorname{Im}(A^*)}$

Тут явно места звёздочек перепутаны. Контрпример возникнет, если обратный к исходному оператору неограничен.

[Lickut]

ewert в сообщении #653319 писал(а):

Это -- стандартная теорема и доказывается тупо переводом формулировок с одних языков на другие. Только надо иметь в виду, что само существование сопряжённого оператора может иметь место быть лишь тогда, когда исходный оператор плотно определён.

да,я понимаю,там проблем нету

Lickut в сообщении #653262 писал(а):

б) но $(\operatorname{Ker}A)^\perp\ne\overline{\operatorname{Im}(A^*)}$

ewert в сообщении #653319 писал(а):

Тут явно места звёздочек перепутаны. Контрпример возникнет, если обратный к исходному оператору неограничен.

если звездочки так ,как вы говорите,тогда наоборот выполняется(следует сразу из пункта (а) )
а насчет неограниченого обратно я уже утром посмотрю,спасибо что так поздно ответили

[Lickut]

Lickut в сообщении #653262 писал(а):

1)Доказать,что оператор $A:C[0,1]\to C[0,1] , A(x(t))=\frac{d^2}{dt}x(t)$ замкнутый
(для первой производной есть теорема с мат.анализа, а для вторых производных?)

фактически,достаточно доказать,что если $x_n \rightrightarrows x , x_n'' \rightrightarrows y$ ,тогда $\exists t_0 : x_n'(t_0)\to x'(t_0)$
вроде должно быть просто,но что-то не понимаю как.

[DLL]

Проинтегрируйте вторую производную от $x_n$ от 0 до t один раз, затем второй.
Далее воспользуйтесь равномерной сходимостью последовательности функций и вторых производных.

[Lickut]

$x_n(t)=\int_{t_0}^t d\tau\int_{t_0}^\tau x_n''(s)ds + x_n'(t_0)t+x_n(t_0)$
тоесть достаточно доказать,что $\exists \lim_{n\to \infty}x_n'(t_0)$

Lickut в сообщении #653610 писал(а):

фактически,достаточно доказать,что если $x_n \rightrightarrows x , x_n'' \rightrightarrows y$ ,тогда $\exists t_0 : x_n'(t_0)\to x'(t_0)$
вроде должно быть просто,но что-то не понимаю как.

[DLL]

Перенесите выражение от которого вы хотите найти предел в левую часть, все остальные слагаемые в правую.

[Lickut]

Все,понял,что-то я сначала запутался с этим всем,спасибо вам.