Диофантово уравнение от 3 неизвестных

[main.c]

Вопрос наверное простой, но что-то у меня не получается решить уравнение:
$5x - 7y + 8z = 3$
Решить нужно в целых числах. Как решаются с 2 неизвестными я знаю, а вот как решить такое нет.

[ИСН]

z - любое число, после этого остаётся уравнение с двумя неизвестными

[main.c]

ИСН в сообщении #653813 писал(а):

z - любое число, после этого остаётся уравнение с двумя неизвестными

$ 5x - 7y = 3 - 8z\\ 5\cdot3 - 7\cdot2 = 1\\ 5\cdot3\cdot(3 - 8z) - 7\cdot2(3-8z) = 3 - 8z\\ x = 9 - 24t\\ y = 6 - 16t\\ z = t$

Так?

[ИСН]

Когда Вы решаете своё уравнение с двумя переменными, сколько получается решений? Одно? Два? Бесконечность?

[main.c]

Бесконечность. Только к чему этот вопрос?

[Cash]

По соображениям размерности, в ответе у Вас - прямая, а исходное уравнение задает плоскость

[ИСН]

К тому, что когда Вы z берёте равным любому числу, получается такое вот уравнение, у которого бесконечно много решений. Для любого z - бесконечно! А Вы что написали?

[main.c]

ИСН в сообщении #653996 писал(а):

К тому, что когда Вы z берёте равным любому числу, получается такое вот уравнение, у которого бесконечно много решений. Для любого z - бесконечно! А Вы что написали?

Согласен. Тогда вот так:
$ x = 9 - 24t + 7n\\ y = 6 - 16t + 5n\\ z = t$

[ИСН]

Вот теперь похоже на правду.
Понятно ли, почему вид z так отличается от прочих? почему его как бы "можно взять любым", а - - - ?

[main.c]

Наверное потому, что уравнение задаёт плоскость, не параллельную плоскости $Oxy$, задавая параметр $t$ мы как бы сечём эту плоскость, плоскостью $z = t$, и в сечении по идее должна получаться прямая, что в общем-то и получается.

[ИСН]

Можно и так... Я другое хотел акцентировать: что z ничем не особенный, что мы могли точно так же сначала выбрать любой x, а потом решать для оставшихся двух.

[main.c]

Спасибо.

[verywell]

Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
http://abak.pozitiv-r.ru/online-16/281-diofantovoe-uravnenie-s-tremya-neizvestnymi

[bot]

А какая принципиальная разница с предыдущим?

[TR63]

verywell в сообщении #1041033 писал(а):

Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
http://abak.pozitiv-r.ru/online-16/281- ... izvestnymi

bot в сообщении #1073221 писал(а):

А какая принципиальная разница с предыдущим?

verywell,
спасибо за ссылку. Очень прозрачное объяснение (без лишних слов; сходу всё понятно) и плюс много полезной другой информации для практических вычислений.