числовой ряд

[drug39]

Помогите найти сумму
$1+1/2+3/8+5/16+9/32+17/64+31/128+57/256+105/512+c_i/2^i+...$ ,
где $c_i=c_{i-1}+c_{i-2}+c_{i-3}$.
Теория какая для таких последовательностей есть?

[ИСН]

Теория есть, но выражаться они будут через корни некрасивого кубического уравнения.

-- Вт, 2012-12-04, 09:01 --

Хотя, может, там всё красиво сократится?

[TOTAL]

Если $c_i=c_{i-1}+c_{i-2}+c_{i-3}$, то искомая сумма $S$ находится из

$S=S/2+S/4+S/8+M$

Осталось найти M.

[drug39]

ИСН в сообщении #653909 писал(а):

... но выражаться они будут через корни некрасивого кубического уравнения.

-- Вт, 2012-12-04, 09:01 --

Хотя, может, там всё красиво сократится?

вычисления сходятся ко вполне красивому числу 23/4.

[ewert]

Конкретнее:

$$S_{n+3}=a_0+a_1+a_2+\sum\limits_{k=3}^{n+3}\frac{c_k}{2^k}=a_0+a_1+a_2+\sum\limits_{k=3}^{n+3}\frac{c_{k-1}+c_{k-2}+c_{k-3}}{2^k}=$$

$$=a_0+a_1+a_2+\sum\limits_{i=2}^{n+2}\frac{c_{i}}{2^{i+1}}+\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{c_{i}}{2^{i+2}}+\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{c_{i}}{2^{i+3}}=\frac{3\,a_{n+1}}4+\frac{a_{n+2}}2+\frac78\,S_n+\frac{c_0+c_1+c_2}4.$$

Соответственно, полная сумма равна ровно десяти.