Мощности множеств (9 класс)

[Olympiya]

Помогите, пожалуйста, решить задачки:

1. Доказать, что множество рациональных чисел счетно.
2. Доказать, что множества (0; +\infty) и (-5;0) равномощны.

Множества называются равномощными (эквивалентными), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, если:
1. каждому элементу $a \in A $ соответствует единственный элемент $b\in B $
2. каждый элемент $ b \in B $ при этом соответствует некоторому элементу $ a \in A $
3. разным элементам множества А соответствуют разные элементы множества В
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N, называется счетным.
То есть, например, любой отрезок $ [a;b], a \ne b $ эквивалентен отрезку [0;1], так как взаимно однозначное соответствие можно установить формулой:
$ x \in [0;1], x \leftrightarrow y=(b-a)x+a, y \in [a;b] $.

Заранее спасибо.

[ИСН]

К чему это Вы приводите определения? Мы их уже видели.
Опять же это наводит на мысль, что у Вас есть некий учебник, откуда это взято, а тогда там же есть и диагональная процедура перечисления рациональных чисел, и равномощность любого интервала со всей прямой.

[Olympiya]

Нет, у меня нет учебника, у меня есть только методичка, а там ничего не написано про "диагональную процедуру перечисления рациональных чисел". Поясните, пожалуйста.
Кроме того, это задачки для 9 класса. Можно их решить без интегралов?

[Brukvalub]

Olympiya писал(а):

1. Доказать, что множество рациональных чисел счетно.
2. Доказать, что множества (0; +\infty) и (-5;0) равномощны.

Напишите бесконечную таблицу, в которой по горизонтали стоят все целые числа. а по вертикали - натуральные, тогда в клетках пересечения столбца и строки разместятся все рац. числа, но, из-за сократимости некоторых дробей, рац. числа в клетках будут иногда повторяться. Теперь придумайте маршрут, обходя который, Вы ровно 1 раз побываете в каждой клетке таблицы. Обходя этот маршрут, нумеруйте рац. числа натуральными номерами. При этом уже встретившиеся ранее в другой записи числа пропускайте - так и получится взаимно-однозначное соответствие рац. и натур. чисел.
2. Изогните интервал в дугу окружности в 90 градусов, проведите нужный числовой луч так, чтобы он касался своим началом начала дуги, и проводите лучи из центра окружности, которые пересекают дугу и луч - тоже получится взаимно-однозначное соответствие.

[ИСН]

Brukvalub писал(а):

2. Изогните интервал в дугу окружности в 90 градусов, проведите нужный числовой луч так, чтобы он касался своим началом начала дуги, и проводите лучи из центра окружности, которые пересекают дугу и луч - тоже получится взаимно-однозначное соответствие.

What a far-fetched way to say "тангенс"!
хотя, безусловно, Brukvalub во всём стопудово прав.

[Olympiya]

Ничего не поняла про дугу окружности в 90 градусов. Решила вторую задачу через тангенс.
Большое спасибо за помощь.