Производящие функции и последовательности

[luivilla]

Прошу направить в нужном направлении.
1. Есть производящая функция $A(t)=e^{t+1}$, нужно найти $a_n$
2. Известно, что
$a_0=3$
$a_1=1$
$a_2=-1$
$a_{n+3}-a_{n+2}+a_{n+1}-a_n=0$
Найти $a_n$
По первой задаче, я понимаю, что представляем в виде ряда, но не совсем понимаю как дальше двигаться, чтобы вытащить нужные коэффициенты, то есть при $t^n$
Что же касается второй задачи, то я умею решать через характеристический многочлен, но в том случае, когда зависимость дана через два предыдущих члена последовательности, а тут три.

Буду признательна, если укажете путь к решению.

[ИСН]

1. Ну дак и представьте в виде ряда. Разве это не будет готовый ответ?
2. Решение через характеристический многочлен, когда там три, ничем не отличается от такового, когда два.

[luivilla]

ИСН в сообщении #653238 писал(а):

1. Ну дак и представьте в виде ряда. Разве это не будет готовый ответ?

Там же ряд получается $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(t+1)^n} {n!} $ = $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n $
То есть ряд слева еще нужно преобразовать, чтобы вытащить коэффициенты конкретно при $t^n$ К тому же здесь (возможно) нужно в итоге задать $a_n$ рекуррентно, так как в блоке задач, откуда эти две, предыдущая была обратной. То есть задана последовательность рекуррентно, найдите для нее производящую функцию

ИСН в сообщении #653238 писал(а):

2. Решение через характеристический многочлен, когда там три, ничем не отличается от такового, когда два.

Охотно верю, а где тогда можно прочитать про данный метод решения в общем виде? Потому что у меня есть просто алгоритм (правда подробный) для двух с примерами.

[ИСН]

1. А, Вы в таком смысле... Да, это не то: надо было ряд по t. Для Вас что первично? Почему этот ряд такой? Потому что производные такие-то, или потому что старшина сказал, что у экспоненты ряд вот такой? От этого зависят дальнейшие действия.
2. Да зачем читать. Просто примените свой метод как для двух, только для трёх.

[luivilla]

Так , по поводу первого буду думать.
Про второе тогда уточняющий вопрос. Если бы было два, то уравнение, откуда выводится система для нахождения коэффициентов выглядит так: $x_n=c_1 \lambda^n _1 +c_2 \lambda^n _2$
Если корни характеристического многочлена совпадают, то $x_n=c_1 \lambda^n _1 +c_2 n \lambda^n _1$
У меня характеристический многочлен $\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1=0$
То есть корень 1. Или комплексные тоже в этом случае нужно считать? И если да, то как потом породить систему? Я потому и спрашивала про почитать про метод в общем.

[alcoholist]

luivilla в сообщении #653419 писал(а):

Или комплексные тоже в этом случае нужно считать?

обязательно

[ИСН]

Считать ли комплексные. Загадка жизни, тайна веков. А в случае, когда два (про который Вы всё знаете), там что, не бывает комплексных корней? бывают? и что положено делать тогда?

[alcoholist]

luivilla в сообщении #653419 писал(а):

как потом породить систему?

так же... три слагаемых будет

[luivilla]

Посчитала, получаем корни 1, i, -i

ИСН в сообщении #653422 писал(а):

А в случае, когда два (про который Вы всё знаете),

я знаю далеко не все. Разбиралась по материалу отсюда. Но у меня не совсем клеится совмещение действительных и мнимых корней. То, что там будет три слагаемых, это понятно.
вот так: $x_n=c_1\lambda_1^n+c_2 \cos \frac {\pi n} 2 +c_3\sin \frac {\pi n} 2$ ?

И кажется да. Получилось $c_1=1 \ c_2=2 \ c_3=0$
и общая формула $a_n=1+2 \cos \frac {\pi n} 2$.

Ушла думать над первым

[ИСН]

Да нет никакого специального совмещения. С комплексными корнями всё точно так же, как и с действительными: лямбда в степени эн. Почему это равно косинусам и синусам - отдельный вопрос.