Как определить "не принадлежит"?

[Побережный Александр]

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2
Обозначается так: $a\in A$ (элемент $a$ принадлежит множеству $A$).
При определении понятия "дополнение множества $A$" (обозначается $A^c$) используется символ $\notin$.
Смотреть http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.94.D0.BE.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0
$A^c= \{x\in X \land x\notin A\}$, где $A\subset X$
Что означает символ $\notin$? Нигде предварительно он не определяется. Значит ли это, что понятие "не принадлежит" вводится аксиоматически?

[gris]

Ну Вы нашли, где смотреть. Посмотрите у Бурбаков в "Теории множеств" в параграфе о коллективизирующих соотношениях. Там чётко сказано: Соотношение "не $(T\in U)$" записывается как $(T\notin U)$

Нарочно глянул: и у Куратовского, и у К-Ф в функане так же чётко прописано об этом знаке.

[Побережный Александр]

gris в сообщении #652701 писал(а):

Там чётко сказано: Соотношение "не $(T\in U)$" записывается как $(T\notin U)$

А почему не так: "не $(T\in U)$" записывается как $T$$\in$"не $U$" или "не $T$"$\in$$U$? А может быть "не $T$"$\in$"не $U$"!
В любом случае, надо обосновать появление частицы "не". В теории множеств вроде не предполагается использование понятия "отрицание".

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #652917 писал(а):

А почему не так: "не $(T\in U)$" записывается как $T$ $\in$"не $U$" или "не $T$"$\in$ $U$? А может быть "не $T$"$\in$"не $U$"!

$T\notin U$ - это сокращение для формулы $\neg(T\in U)$. А "не $T$" и "не $U$", то есть, "$\neg T$" и "$\neg U$", - бессмысленные последовательности символов.
Вообще, судя по Вашим вопросам, Вы не умеете логически рассуждать.

[bot]

Побережный Александр в сообщении #652917 писал(а):

В теории множеств вроде не предполагается использование понятия "отрицание"

То есть в теории множеств запрещено формулировать утверждения типа "не существует множества ... " , к примеру, пустого и не пустого одновременно?

[gris]

Мне кажется, что ТС пеняет Википедии на недостаток строгости и последовательности. Но так она и не претендует на полноту и логическую стройность изложения, являясь энциклопедией, но не учебником. В любом достаточно серьёзном учебнике (курсе) все обозначения определены до их использования, да и то можно придраться, если одолевает. В энциклопедии же нет упорядоченного расположения статей, и некоторые общепринятые обозначения могут вообще не определяться или определяться совершенно в ином разделе.
Впрочем, в учебнике Хаусдорфа, например, спорный символ, по-моему, не используется. Но "отрицание утверждения" относится к математической логике, которая. Ну не буду залезать.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #652917 писал(а):

В теории множеств вроде не предполагается использование понятия "отрицание"

Чушь какая. Отрицание - это логическое понятие. Теория множеств на 100% использует классическую логику, в том числе - и отрицание.

[Побережный Александр]

Someone в сообщении #652925 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #652917 писал(а):

А почему не так: "не $(T\in U)$" записывается как $T$ $\in$"не $U$" или "не $T$"$\in$ $U$? А может быть "не $T$"$\in$"не $U$"!

$T\notin U$ - это сокращение для формулы $\neg(T\in U)$. А "не $T$" и "не $U$", то есть, "$\neg T$" и "$\neg U$", - бессмысленные последовательности символов.

Уважаемый Someone, почему такая избирательность:
"НЕ принадлежит" - допустимо,
а "НЕ множество" - запрещено. Хотя и "множество" и "принадлежность" базовые понятия в теории множеств.
Я просто пытаюсь разобраться в теме, поскольку пока не могу найти ответ для себя. Если есть возможность, объясните свою точку зрения.

[Aritaborian]

А что могло бы значить «не множество», коль скоро теория множеств только ими и занимается?

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #653322 писал(а):

почему такая избирательность:
"НЕ принадлежит" - допустимо,
а "НЕ множество" - запрещено.

А Вы не догадываетесь, что у Вас во втором случае пропущен глагол-связка "есть"? И если там указать некий объект $A$, то получится высказывание "$A$ не есть множество", которое является отрицанием высказывания "$A$ есть множество"? И что это совсем не то же самое, что бессмысленное отрицание объекта $A$?

[Побережный Александр]

А такие высказывания будут корректны?
"А не есть множество В" или "А есть НЕ множество В".
"НЕ множество В" - это любое другое множество, кроме В.

[bot]

(Оффтоп)

Побережный Александр в сообщении #653401 писал(а):

А такие высказывания будут корректны?"А не есть множество В"

Корректно будет $A$ не ест множество $B$

Побережный Александр в сообщении #653401 писал(а):

"НЕ множество В" - это любое другое множество, кроме В

А почему бы тогда даже и не множество? И вообще все эти изыски математикой даже не пахнут - просто рюсская языка учить надо.

[Побережный Александр]

Bot, на самом деле я как раз и пытаюсь сформировать математически выверенный текст. Насколько я понял из слов Someone, частица "не" совсем не означает "отрицание". "Не" перед множеством - это не правильно. А чтобы было правильно необходимо бытовой текст переформулировать на математически правильный.
Например, бытовая речь "Москва - это столица" или "Новгород - это не столица".
По-математически, "Москва есть столица" и "Новгород не есть столица", а вариант "Новгород есть не столица" категорически отвергается. Этот нюанс я как раз и не могу уловить. Что мешает использовать вариант "не столица" в математическом варианте?

[venco]

Тонкое различие в семантике русского языка, по моему, можно показать скобками:

Побережный Александр в сообщении #653401 писал(а):

"А не есть множество В" или "А есть НЕ множество В".

"А не есть множество В" = "A не есть (множество В)"

"А есть НЕ множество В", на мой взгляд, неоднозначно, и может означать как "А есть НЕ (множество В)", так и "А есть (НЕ множество) В".
Первый вариант совпадает с "А не есть множество В", а второй - нет. Причём, мне кажется, второй вариант понимания более правилен.

Побережный Александр в сообщении #653401 писал(а):

"НЕ множество В" - это любое другое множество, кроме В.

..., или объект другого класса (не множество) под именем B.

[Побережный Александр]

Получается, что объект "не множество" нельзя определить. Соответственно, был введен запрет на операцию "отрицание" для множеств. Операция "дополнение множества" есть некоторый аналог операции "отрицания" для множеств, если я все верно понял.
Только с "дополнением" тоже возникают вопросы.
Есть конечное множество К. Множество А является подмножеством К. Для множества К всегда можно построить булеан М. Булеан - это множество всех подмножеств множества К. Но А является подмножеством и булеана М. Теперь когда мы говорим о дополнении множества А, то не ясно о каком дополнении идет речь. То ли в множестве К, то ли в булеане М.
Чтобы различать эти дополнения, предлагаю дополнение в булеане М называть "отрицанием множества А".