Задача из теории меры!

[geniy88]

Здравствуйте, мне нужно решить следующую задачу:

Пусть $X $ является множеством рациональных чисел отрезка $[0, 1]$ и $ U $ является алгеброй заданной в $X$ которая порождена подмножествами $(a,b] \cap X$, где $a$ и $b$ действительные числа и $0<a<b<1$. Нужно проверить верно ли утверждение: Существует конечно-аддитивная мера $\mu : U \rightarrow [0, \infty]$ такая что $\mu (X\cap(a, b])=b-a$ для всех $a,b \in (0, 1)$ где $a<b$.

Я начал так, во первых если бы отрезок включал бы не только рациональные числа то мы бы получили Борелеву сигма алгебру и задали бы на ней Борелеву меру с помощью непрерывной справа функции $F:[0, 1] \rightarrow [0, \infty] $ и потом ограничив функцию на множество рациональных чисел отрезка $[0, 1]$ получим меру, и поскольку мера является бесконечно аддитивной то она будет и конечно аддитивной.

[zhoraster]

geniy88 в сообщении #652340 писал(а):

если бы отрезок включал бы не только рацональные числа то мы бы получили Борелеву сигма алгебру

Мысль правильная, но плохо оформленная. Во-первых, отрезок и так содержит не только рациональные числа. Во-вторых, откуда мы получим сигма-алгебру?

[geniy88]

1) я имел ввиду $X$ (подмножество отрезка которое содержит рациональные числа)
2) есть такая такая теорема, что борелева сигма алгебра на множестве вещественных чисел порождена множеством $E=\{(a,b]:a<b \}$
(опять таки я не показал имеет ли смысл эта теорема для отрезка [0,1], то есть получаем ли мы сигма алгебру если рассматривает отрезки $(a,b]$, где $a<b$ и $a,b \in [0,1]$)

[zhoraster]

А что за теорема такая, на которую Вы ссылаетесь? Сформулировать можете?

[geniy88]

это proposition 1.2 из книги Folland. G. B "Real Analysis: modern techniques and their applications"
Борелева сигма алгебра порождается одним из перечисленными ниже множествами:
1) $U=\{(a,b], a<b\}$
2) $U=\{[a,b), a<b\}$
3) $U=\{[a,\infty)\}$
и тд

[zhoraster]

Ой, я не то имел в виду. Про продолжение меры.