Расширение Галуа, поле разложения, неприводимость

[xmaister]

Пусть $K$- поле и $f\in K[x]$. В поле $K[x]/(f_0(x))\cong K[a_1]=K_1$ многочлен $f(x)$ имеет корень $a_1$, тогда разложим $f$ на неприводимые в кольце $K[a_1][x]$ и пусть $f_1$- член разложения степени больше 1. Будем иметь $K[a_1][x]/(f_1(x))\cong K[a_1,a_2]=K_2$, продолжая по индукции получаем поле разложения $K[a_1,\ldots ,a_s]$. Далее я доказываю, что полученное расширение $K[a_1,\ldots ,a_s]/K$- расширение Галуа. Рассмотрим последовательность расширений $K\subset K[a_1]\subset\ldots \subset K[a_1,\ldots a_s]$ и $\varphi :K_{i-1}\to K_s$- гомоморфизм, тогда пусть $\psi: K_i\to K_s$, ограничение которого на $K_{i-1}$ совпадает с $\varphi$. Т.к. $f_i(x)$ раскладывается на линейные множители в $K_s$, то и $\overline{\varphi}(f_i)$ также раскладывается, где $\overline{\varphi}:K_{i-1}[x]\to K_s[x]$- гомоморфизм, индуцированный $\varphi :K_{i-1}\to K_s$, тогда будем иметь $\mathrm{Aut}(K_s/K)=\mathrm{deg}(K_s/K)$. Значит такое расширение- расширение Галуа. Я верно доказал? А верно ли что всякео конечное расширение Галуа поля $K$- есть поле разложение некоторого $P\in K[x]$? Пытался посчитать группы Галуа следующих многочленов $f_1(x)=x^{2^n}(x+a)^{2^n}+1$, где $a\in\mathbb{Q}$ и $ f_2(x)=\sum\limits_{i=0}^{p-1}i!x^i$, где $p$- простое. Подскажите, как это сделать? Ну т.е. ясно, что надо найти их корни в $\mathbb{C}$, но они тут не находятся в лоб как-то.

[AV_77]

Если $x^{2^n}(x+a)^{2^n} + 1 = 0$, то $(x^2 + ax)^{2^n} = -1$. Отсюда $x^2 + ax = \varepsilon_k$, где $\varepsilon_k$ -- корень $2n$-й степени из $-1$, $k = 1, 2, \ldots, 2n$.

[Xaositect]

xmaister в сообщении #652199 писал(а):

Пусть $K$- поле и $f\in K[x]$. В поле $K[x]/(f_0(x))\cong K[a_1]=K_1$ многочлен $f(x)$ имеет корень $a_1$, тогда разложим $f$ на неприводимые в кольце $K[a_1][x]$ и пусть $f_1$- член разложения степени больше 1. Будем иметь $K[a_1][x]/(f_1(x))\cong K[a_1,a_2]=K_2$, продолжая по индукции получаем поле разложения $K[a_1,\ldots ,a_s]$. Далее я доказываю, что полученное расширение $K[a_1,\ldots ,a_s]/K$- расширение Галуа. Рассмотрим последовательность расширений $K\subset K[a_1]\subset\ldots \subset K[a_1,\ldots a_s]$ и $\varphi :K_{i-1}\to K_s$- гомоморфизм, тогда пусть $\psi: K_i\to K_s$, ограничение которого на $K_{i-1}$ совпадает с $\varphi$. Т.к. $f_i(x)$ раскладывается на линейные множители в $K_s$, то и $\overline{\varphi}(f_i)$ также раскладывается, где $\overline{\varphi}:K_{i-1}[x]\to K_s[x]$- гомоморфизм, индуцированный $\varphi :K_{i-1}\to K_s$, тогда будем иметь $\mathrm{Aut}(K_s/K)=\mathrm{deg}(K_s/K)$. Значит такое расширение- расширение Галуа. Я верно доказал?

Не понял последнего рассуждения про гомоморфизмы. Еще не понял, где используется сепарабельность $f$, а без нее это неверно.

Цитата:

А верно ли что всякео конечное расширение Галуа поля $K$- есть поле разложение некоторого $P\in K[x]$?

Верно, это минимальный многочлен примитивного элемента.

Цитата:

Пытался посчитать группы Галуа следующих многочленов $f_1(x)=x^{2^n}(x+a)^{2^n}+1$, где $a\in\mathbb{Q}$ и $ f_2(x)=\sum\limits_{i=0}^{p-1}i!x^i$, где $p$- простое. Подскажите, как это сделать? Ну т.е. ясно, что надо найти их корни в $\mathbb{C}$, но они тут не находятся в лоб как-то.

Ну, у первого корни находятся элементарно, перепишите в виде $(x(x+a))^{2^n} = -1$. Со вторым не знаю, что делать.

[xmaister]

Xaositect в сообщении #652259 писал(а):

Еще не понял, где используется сепарабельность $f$, а без нее это неверно.

Не использовал, а почему без неё не верно?

[Xaositect]

xmaister в сообщении #652263 писал(а):

Не использовал, а почему без неё не верно?

$\mathbb{F}_p(X^{1/p})$ как расширение над $\mathbb{F}_p(X)$ является полем разложения несепарабельного многочлена $x^p-X$, но не является расширением Галуа, и автоморфизм у него только тривиальный.